Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal del algoritmo estándar de programación dinámica para la subsecuencia común más larga de dos cadenas de longitudes m y n?

  1. AO(mn log n)
  2. BO(mn)
  3. CO(m + n)
  4. DO(2m+n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El problema de la parada demuestra que:

  1. AAlgunos programas se ejecutan más rápido en ordenadores más rápidos, así que la parada depende del hardware
  2. BNingún algoritmo puede decidir, para todo programa y toda entrada, si el programa se detiene
  3. CTodo programa acaba deteniéndose
  4. DHay que evitar los bucles
3.Estructuras de datosMedia

En una tabla hash con direccionamiento abierto, ¿cuál es el factor de carga máximo posible?

  1. A2
  2. B1
  3. C0,5
  4. DNo hay máximo
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cuáles son los costes en tiempo y en espacio adicional de invertir en el sitio una lista simplemente enlazada?

  1. ATiempo O(1) y espacio adicional O(1)
  2. BTiempo O(n) y espacio adicional O(1)
  3. CTiempo O(n log n) y espacio adicional O(1)
  4. DTiempo O(n) y espacio adicional O(n)
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 5, 4 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 3 empiezan y terminan en A? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 3
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(mn)

Por qué esta es la respuesta

La tabla tiene (m + 1)(n + 1) celdas y cada una se calcula en O(1) a partir de sus vecinas.

Respuesta

B · O(mn)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Ningún algoritmo puede decidir, para todo programa y toda entrada, si el programa se detiene

Por qué esta es la respuesta

Turing demostró que el problema de la parada es indecidible: suponer que existe un decisor lleva a una contradicción con un programa que hace lo contrario.

Respuesta

B · Ningún algoritmo puede decidir, para todo programa y toda entrada, si el programa se detiene
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · 1

Por qué esta es la respuesta

Con direccionamiento abierto todas las claves se almacenan en la propia tabla, así que n no puede superar m; con encadenamiento separado el factor de carga puede ser mayor que 1.

Respuesta

B · 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Tiempo O(n) y espacio adicional O(1)

Por qué esta es la respuesta

Con tres punteros (anterior, actual, siguiente) se puede invertir cada enlace en una sola pasada sin reservar nodos nuevos.

Respuesta

B · Tiempo O(n) y espacio adicional O(1)
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 11

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 23 = 2(L + 7) − 2
L = 11

Respuesta

L = 11

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Un paso más

(M³)AA = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 2·0 + 0·0 = 2

Respuesta

N = 2

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