Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué algoritmo encuentra los caminos más cortos desde un origen en un grafo con pesos de aristas no negativos?

  1. AAlgoritmo de Dijkstra
  2. BBellman-Ford es necesario en todos los casos
  3. CBúsqueda en profundidad (DFS)
  4. DAlgoritmo de Kruskal
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El algoritmo de programación dinámica de Held-Karp resuelve exactamente el problema del viajante. ¿Cuál es su tiempo de ejecución para n ciudades?

  1. AO(2n²)
  2. BO(n³)
  3. CO(n!)
  4. DO(n² 2ⁿ)
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué estructura de datos se usa para comprobar si los paréntesis de "{[()]}" están equilibrados?

  1. AUna cola
  2. BUna tabla hash
  3. CUn árbol binario de búsqueda
  4. DUna pila
4.Estructuras de datosDifícil

Al insertar una clave en un árbol AVL, el subárbol izquierdo de un nodo queda demasiado alto, y la nueva clave fue al subárbol izquierdo de su hijo izquierdo (caso izquierda-izquierda). ¿Qué corrección se aplica?

  1. AUna rotación a la izquierda en el hijo y luego una rotación a la derecha en el nodo
  2. BUna rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado
  3. CRecolorear el nodo y su hijo
  4. DUna rotación simple a la izquierda en el nodo desequilibrado
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K8? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K8
H =
6.Teoría de grafosDifícil
13551529433713ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Algoritmo de Dijkstra

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Dijkstra funciona con pesos no negativos; Bellman-Ford admite pesos negativos; Kruskal construye árboles de expansión mínima.

Respuesta

A · Algoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(n² 2ⁿ)

Por qué esta es la respuesta

Hay unos n 2ⁿ estados, y cada uno se calcula en O(n); es exponencial, pero mucho más rápido que probar los (n − 1)! recorridos.

Respuesta

D · O(n² 2ⁿ)
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una pila

Por qué esta es la respuesta

Se hace push de cada paréntesis de apertura y pop cuando aparece uno de cierre; este debe coincidir con el que se saca y la pila debe quedar vacía al final.

Respuesta

D · Una pila
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Una rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado

Por qué esta es la respuesta

En el caso izquierda-izquierda, una rotación a la derecha sube el hijo izquierdo y restablece el equilibrio; los casos en zigzag necesitan una rotación doble.

Respuesta

B · Una rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 2520

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Respuesta

H = 2520
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 24

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 13
B (13): C: 18, D: 18, G: 16
G (16): E: 29
C (18)
D (18): E: 20, F: 27
E (20): F: 24
F (24)

Camino más corto

A → B → D → E → F
d(F) = 24

Respuesta

d(F) = 24

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