Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árbol y bosque: |E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en K_n: (n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L: (Mᴸ)_ij

Método

Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de: para i = 1 hasta n: (j = 1; mientras j < n: j = j × 2)?

AO(log n)
BO(n)
CO(n²)
DO(n log n)

2.Algoritmos y complejidadDifícil

El algoritmo de Strassen multiplica matrices usando 7 multiplicaciones recursivas de bloques de la mitad de tamaño en lugar de 8. ¿Cuál es su tiempo de ejecución?

AΘ(n³)
BΘ(n²)
CΘ(n^{log₂ 7}), aproximadamente n^2,81
DΘ(n² log n)

3.Estructuras de datosMedia

Una aplicación necesita búsquedas rápidas y además listar las claves en orden y responder consultas por rangos. ¿Qué estructura encaja mejor?

AUna tabla hash
BUna pila
CUn árbol binario de búsqueda balanceado
DUna lista enlazada sin ordenar

4.Estructuras de datosDifícil

Sin unión por rango ni compresión de caminos, ¿cuál es el coste en el peor caso de un solo find en una estructura union-find con n elementos?

AO(n)
BO(1)
CO(α(n))
DO(log n)

5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 11 vértices y 19 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 11|E| = 19

k =

6.Teoría de grafosDifícil

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(E) del camino más corto de A a E en el grafo ponderado.

inicio: Afin: E

d(E) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(n log n)

Por qué esta es la respuesta

El bucle interior se ejecuta unas log₂ n veces por cada una de las n iteraciones exteriores, lo que da O(n log n).

Respuesta

D · O(n log n)

2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Θ(n^{log₂ 7}), aproximadamente n^2,81

Por qué esta es la respuesta

Con a = 7 y b = 2, n^{log₂ 7} domina al trabajo de sumas O(n²), lo que da aproximadamente n^2,81.

Respuesta

C · Θ(n^{log₂ 7}), aproximadamente n^2,81

3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Un árbol binario de búsqueda balanceado

Por qué esta es la respuesta

Un BST balanceado ofrece búsquedas en O(log n) y mantiene las claves ordenadas, así que el recorrido en orden y las consultas por rangos son sencillos; una tabla hash dispersa las claves.

Respuesta

C · Un árbol binario de búsqueda balanceado

4.Estructuras de datos

Respuesta: A · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Las uniones ingenuas pueden enlazar los árboles formando una cadena larga, así que find puede tener que seguir n − 1 punteros al padre; las dos heurísticas lo acercan a un coste constante.

Respuesta

A · O(n)

5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 9

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; K_n tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

11 − 1 = 10

Aristas que quitar

k = 19 − 10 = 9

Respuesta

k = 9

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(E) = 14

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 5, C: 5

B (5): D: 7, E: 19

C (5): E: 16

D (7): E: 14, F: 14

E (14)

F (14)

Camino más corto

A → B → D → E

d(E) = 14

Respuesta

d(E) = 14

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