Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árbol y bosque: |E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en K_n: (n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L: (Mᴸ)_ij

Método

Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Con monedas de 1, 3 y 4 y una cantidad de 6, ¿cuántas monedas usa el método voraz de «la moneda más grande primero», comparado con el óptimo?

AEl voraz usa 2 monedas; el óptimo es 2
BEl voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2
CEl voraz usa 3 monedas; el óptimo es 3
DEl voraz usa 4 monedas; el óptimo es 3

2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre la notación o pequeña es correcta?

An = o(n), porque toda función es o pequeña de sí misma
Bn = o(n²), pero n no es o(n)
C2n = o(n), porque 2n crece despacio
Dn² = o(n)

3.Estructuras de datosMedia

Un trie (árbol de prefijos) es especialmente eficiente para:

AAlmacenar matrices
BBúsquedas por prefijo, como el autocompletado
CEncontrar caminos más cortos
DOrdenar números

4.Estructuras de datosDifícil

Un objeto se almacena como clave en un mapa hash y después se modifica un campo que usa su función hash. ¿Cuál es el resultado probable?

ALa búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo
BEl mapa mueve automáticamente la clave a su nueva cubeta
CNo cambia nada, porque el hash de una clave se calcula una sola vez al iniciar el programa
DEl mapa lanza un error en el momento en que cambia el campo

5.Teoría de grafosMedia

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 6

1Circuito euleriano
2Camino euleriano, sin circuito
3ninguna de las dos

6.Teoría de grafosDifícil

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 6; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 6

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · El voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2

Por qué esta es la respuesta

El voraz toma 4 + 1 + 1 = 3 monedas, pero 3 + 3 usa solo 2, así que el método voraz no es óptimo para este sistema de monedas; la programación dinámica sí lo es.

Respuesta

B · El voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2

2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · n = o(n²), pero n no es o(n)

Por qué esta es la respuesta

f = o(g) significa que f(n) / g(n) tiende a 0; n / n² tiende a 0, pero n / n = 1 no.

Respuesta

B · n = o(n²), pero n no es o(n)

3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Búsquedas por prefijo, como el autocompletado

Por qué esta es la respuesta

Los tries almacenan cadenas carácter a carácter a lo largo de caminos, así que las búsquedas y consultas por prefijo tardan un tiempo proporcional a la longitud de la clave.

Respuesta

B · Búsquedas por prefijo, como el autocompletado

4.Estructuras de datos

Respuesta: A · La búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo

Por qué esta es la respuesta

La posición de la clave se eligió a partir de su hash antiguo; con un hash nuevo, las búsquedas miran en la cubeta equivocada, por lo que las claves deberían ser inmutables.

Respuesta

A · La búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo

5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; K_n tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Vértices impares

B, C, D, E → 4

ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos

6.Teoría de grafos

Respuesta: C

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 4

2. B (4): C: 19, D: 11, G: 12

3. D (11): E: 16, F: 21

4. G (12)

5. E (16)

6. C (19)

7. F (21)

ronda 6

Respuesta

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