Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La búsqueda en anchura (BFS) en un grafo no ponderado encuentra:

  1. AEl árbol de expansión mínima
  2. BLos caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial
  3. CLos caminos más cortos en grafos que contienen aristas con pesos negativos
  4. DUn orden topológico en todos los grafos
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Tomar los dos extremos de cada arista de un emparejamiento maximal da un recubrimiento de vértices. ¿Cómo de bueno es este recubrimiento?

  1. AComo mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
  2. BDe calidad desconocida respecto al óptimo
  3. CComo mucho log n veces el mínimo
  4. DSiempre es un recubrimiento de vértices mínimo
3.Estructuras de datosMedia

Un trie (árbol de prefijos) es especialmente eficiente para:

  1. AOrdenar números
  2. BBúsquedas por prefijo, como el autocompletado
  3. CEncontrar caminos más cortos
  4. DAlmacenar matrices
4.Estructuras de datosDifícil

Un arreglo dinámico duplica su tamaño cuando está lleno. ¿Por qué muchas implementaciones solo lo reducen cuando está lleno en una cuarta parte, y no en la mitad?

  1. APorque el asignador de memoria solo puede liberar memoria en cuartos de bloque
  2. BPorque reducirlo a la mitad al llegar a la mitad perdería elementos
  3. CPara mantener el arreglo ordenado
  4. DPara evitar redimensionamientos repetidos cuando se alternan push y pop cerca del límite
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K7? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K7
H =
6.Teoría de grafosDifícil
748915161914ABCDEF

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice B. Haz clic en la arista que añade como arista número 2.

inicio: Bk = 2
  1. 1arista AB
  2. 2arista BC
  3. 3arista BD
  4. 4arista CE
  5. 5arista DE
  6. 6arista DF
  7. 7arista EF
  8. 8arista BE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Los caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial

Por qué esta es la respuesta

BFS visita los nodos en orden de distancia (en aristas) desde el origen, así que encuentra los caminos más cortos no ponderados en O(V + E).

Respuesta

B · Los caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo

Por qué esta es la respuesta

Las aristas del emparejamiento no comparten vértices, así que el óptimo necesita al menos un vértice por arista, mientras que este método toma dos: una 2-aproximación.

Respuesta

A · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Búsquedas por prefijo, como el autocompletado

Por qué esta es la respuesta

Los tries almacenan cadenas carácter a carácter a lo largo de caminos, así que las búsquedas y consultas por prefijo tardan un tiempo proporcional a la longitud de la clave.

Respuesta

B · Búsquedas por prefijo, como el autocompletado
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Para evitar redimensionamientos repetidos cuando se alternan push y pop cerca del límite

Por qué esta es la respuesta

Reducirlo al llegar a la mitad podría provocar un redimensionamiento en cada operación de esa secuencia; el margen entre 1/4 y lleno mantiene el coste amortizado en O(1).

Respuesta

D · Para evitar redimensionamientos repetidos cuando se alternan push y pop cerca del límite
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 360

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Respuesta

H = 360
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista AB

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. BC (4)
2. AB (7)
3. BD (8)
4. CE (9)
5. DF (16)

arista número 2

AB

Respuesta

arista AB

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