Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

En el problema de selección de actividades, ¿qué regla voraz da siempre el número máximo de actividades que no se solapan?

  1. AElegir la actividad que empieza antes
  2. BElegir primero la actividad más corta
  3. CElegir la actividad que termina antes y repetir con las compatibles
  4. DElegir primero la actividad con menos solapamientos y repetir con las compatibles
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre la notación o pequeña es correcta?

  1. An = o(n), porque toda función es o pequeña de sí misma
  2. Bn = o(n²), pero n no es o(n)
  3. C2n = o(n), porque 2n crece despacio
  4. Dn² = o(n)
3.Estructuras de datosMedia

¿Por qué recorrer un arreglo suele ser en la práctica mucho más rápido que recorrer una lista enlazada de la misma longitud?

  1. ALos elementos del arreglo son contiguos, así que aprovechan bien la caché de la CPU
  2. BLos arreglos usan menos instrucciones para comparar valores
  3. CLas listas enlazadas siempre almacenan los elementos en disco
  4. DRecorrer un arreglo es O(1) en total, mientras que recorrer una lista enlazada es O(n)
4.Estructuras de datosDifícil

Un filtro de Bloom puede responder a «¿está este elemento en el conjunto?» con:

  1. APosibles falsos positivos, pero sin falsos negativos
  2. BRespuestas siempre exactas
  3. CPosibles falsos negativos, pero sin falsos positivos
  4. DRespuestas solo para números
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
188761914420ABCDEF

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice D. Haz clic en la arista que añade como arista número 4.

inicio: Dk = 4
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista CE
  5. 5arista DE
  6. 6arista DF
  7. 7arista EF
  8. 8arista BE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Elegir la actividad que termina antes y repetir con las compatibles

Por qué esta es la respuesta

Puede demostrarse con un argumento de intercambio que elegir la que termina antes es óptimo; las demás reglas tienen contraejemplos.

Respuesta

C · Elegir la actividad que termina antes y repetir con las compatibles
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · n = o(n²), pero n no es o(n)

Por qué esta es la respuesta

f = o(g) significa que f(n) / g(n) tiende a 0; n / n² tiende a 0, pero n / n = 1 no.

Respuesta

B · n = o(n²), pero n no es o(n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Los elementos del arreglo son contiguos, así que aprovechan bien la caché de la CPU

Por qué esta es la respuesta

La memoria contigua ofrece una buena localidad de referencia, mientras que los nodos enlazados pueden estar dispersos y provocar muchos fallos de caché.

Respuesta

A · Los elementos del arreglo son contiguos, así que aprovechan bien la caché de la CPU
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Posibles falsos positivos, pero sin falsos negativos

Por qué esta es la respuesta

Si algún bit de un elemento es 0, seguro que no está; si todos son 1, probablemente está. Los filtros de Bloom sacrifican precisión a cambio de usar muy poca memoria.

Respuesta

A · Posibles falsos positivos, pero sin falsos negativos
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Vértices impares

B, D → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: arista BC

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. DF (14)
2. EF (4)
3. CE (6)
4. BC (7)
5. AC (8)

arista número 4

BC

Respuesta

arista BC

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