Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de calcular el n-ésimo número de Fibonacci con una tabla ascendente (bottom-up)?

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué definición de la clase NP es correcta?

  1. AProblemas que ningún algoritmo puede resolver
  2. BProblemas que no pueden resolverse en tiempo polinómico
  3. CProblemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado
  4. DProblemas que no son polinómicos
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuántos nodos tiene un árbol binario perfecto de altura h, contando la altura en aristas?

  1. A2h + 1
  2. B2h
  3. C2h+1 − 1
  4. Dh2
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué estructura de datos permite una caché LRU (least recently used) con get y put en O(1)?

  1. AUn mapa hash combinado con una lista doblemente enlazada
  2. BSolo una pila
  3. CUn único arreglo ordenado
  4. DSolo un árbol binario de búsqueda
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 3, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 3
L =
6.Teoría de grafosDifícil
1351311494913145ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Rellenar la tabla de 0 a n requiere una suma por entrada, así que el trabajo es lineal en lugar de exponencial.

Respuesta

D · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Problemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado

Por qué esta es la respuesta

En un problema NP, una solución propuesta (certificado) puede comprobarse rápidamente, por ejemplo verificar que una asignación dada satisface una fórmula booleana.

Respuesta

C · Problemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · 2h+1 − 1

Por qué esta es la respuesta

Sumar 1 + 2 + 4 + ... + 2h da 2h+1 − 1; por ejemplo, la altura 2 da 7 nodos.

Respuesta

C · 2h+1 − 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Un mapa hash combinado con una lista doblemente enlazada

Por qué esta es la respuesta

El mapa hash encuentra los nodos en O(1) y la lista doblemente enlazada mueve los elementos accedidos al frente y expulsa por el final en O(1).

Respuesta

A · Un mapa hash combinado con una lista doblemente enlazada
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 5

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 9 = 2(L + 3) − 2
L = 5

Respuesta

L = 5

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 18

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 13, C: 5
C (5): E: 9, G: 8
G (8): B: 9, D: 22
B (9): D: 20
E (9): D: 18, F: 18
D (18)
F (18)

Camino más corto

A → C → E → F
d(F) = 18

Respuesta

d(F) = 18

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