Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Es correcto decir que un algoritmo O(n²) también es O(n³)?

  1. ANo, porque O grande debe dar siempre el ritmo de crecimiento exacto de la función
  2. BSí, pero solo si n es menor que 100
  3. CNo, porque n³ es menor que n² para n grande
  4. DSí, porque O grande es una cota superior y n² no crece más deprisa que n³
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué algoritmo encuentra un árbol de expansión mínima añadiendo repetidamente la arista más barata que no forme un ciclo?

  1. AAlgoritmo de Prim empezando desde un nodo
  2. BAlgoritmo de Kruskal
  3. CFloyd-Warshall
  4. DAlgoritmo de Dijkstra
3.Estructuras de datosMedia

Un árbol binario tiene la raíz 1 con hijo izquierdo 2 e hijo derecho 3; el nodo 2 tiene los hijos 4 (izquierdo) y 5 (derecho). ¿Cuál es el recorrido en postorden?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C5 4 3 2 1
  4. D4 2 5 1 3
4.Estructuras de datosDifícil

Sin unión por rango ni compresión de caminos, ¿cuál es el coste en el peor caso de un solo find en una estructura union-find con n elementos?

  1. AO(α(n))
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
31211131693ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Sí, porque O grande es una cota superior y n² no crece más deprisa que n³

Por qué esta es la respuesta

O grande es una cota superior, así que la afirmación es cierta pero no ajustada; Θ(n²) indica el ritmo de crecimiento exacto.

Respuesta

D · Sí, porque O grande es una cota superior y n² no crece más deprisa que n³
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Algoritmo de Kruskal

Por qué esta es la respuesta

Kruskal ordena las aristas por peso y las añade si conectan componentes distintas; Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial.

Respuesta

B · Algoritmo de Kruskal
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · 4 5 2 3 1

Por qué esta es la respuesta

El postorden procesa 4 y 5 antes que 2, luego 3 y, por último, la raíz 1.

Respuesta

B · 4 5 2 3 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Las uniones ingenuas pueden enlazar los árboles formando una cadena larga, así que find puede tener que seguir n − 1 punteros al padre; las dos heurísticas lo acercan a un coste constante.

Respuesta

B · O(n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 10

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 3, C: 12
B (3): D: 4
D (4): E: 5, F: 10, G: 7
E (5): C: 8
G (7)
C (8)
F (10)

Camino más corto

A → B → D → F
d(F) = 10

Respuesta

d(F) = 10

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