Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Aproximadamente cuántas comparaciones necesita la búsqueda binaria en el peor caso en un array ordenado de 1,000,000 de elementos?

  1. AUnas 20
  2. BUnas 1,000
  3. CUnas 500,000
  4. DUnas 100
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué definición de la clase NP es correcta?

  1. AProblemas que ningún algoritmo puede resolver
  2. BProblemas que no son polinómicos
  3. CProblemas que no pueden resolverse en tiempo polinómico
  4. DProblemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánto se tarda en comprobar si existe la arista (u, v) con una matriz de adyacencia?

  1. AO(V)
  2. BO(E)
  3. CO(log V)
  4. DO(1)
4.Estructuras de datosDifícil

Un objeto se almacena como clave en un mapa hash y después se modifica un campo que usa su función hash. ¿Cuál es el resultado probable?

  1. AEl mapa mueve automáticamente la clave a su nueva cubeta
  2. BNo cambia nada, porque el hash de una clave se calcula una sola vez al iniciar el programa
  3. CEl mapa lanza un error en el momento en que cambia el campo
  4. DLa búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
1594591129877ABCDEFG

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 6; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Unas 20

Por qué esta es la respuesta

220 ≈ 1,048,576, así que tras unas 20 divisiones por la mitad solo queda un elemento.

Respuesta

A · Unas 20
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Problemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado

Por qué esta es la respuesta

En un problema NP, una solución propuesta (certificado) puede comprobarse rápidamente, por ejemplo verificar que una asignación dada satisface una fórmula booleana.

Respuesta

D · Problemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · O(1)

Por qué esta es la respuesta

La entrada de la fila u y la columna v indica de inmediato si la arista existe; con una lista de adyacencia puede ser necesario recorrer los vecinos de u.

Respuesta

D · O(1)
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · La búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo

Por qué esta es la respuesta

La posición de la clave se eligió a partir de su hash antiguo; con un hash nuevo, las búsquedas miran en la cubeta equivocada, por lo que las claves deberían ser inmutables.

Respuesta

D · La búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: F

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 15, C: 9
2. C (9): B: 13, G: 17
3. B (13): D: 18
4. G (17): E: 24
5. D (18): F: 19
6. F (19)
7. E (24)

ronda 6

F

Respuesta

F

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