Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cómo construye el algoritmo de Prim un árbol de expansión mínima?

  1. AElimina la arista más cara hasta que no quedan ciclos
  2. BOrdena todas las aristas por peso y añade cada una salvo que forme un ciclo en el bosque
  3. CHace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol
  4. DEjecuta una búsqueda en anchura y se queda con el árbol BFS
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Tomar los dos extremos de cada arista de un emparejamiento maximal da un recubrimiento de vértices. ¿Cómo de bueno es este recubrimiento?

  1. AComo mucho log n veces el mínimo
  2. BComo mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
  3. CDe calidad desconocida respecto al óptimo
  4. DSiempre es un recubrimiento de vértices mínimo
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es el valor de la expresión en notación postfija 3 4 + 2 * ?

  1. A14
  2. B11
  3. C10
  4. D24
4.Estructuras de datosDifícil

La estructura union-find (conjuntos disjuntos) con unión por rango y compresión de caminos tiene un coste amortizado por operación de:

  1. AO(α(n)), la inversa de la función de Ackermann, que en la práctica es constante
  2. BO(n)
  3. CExactamente O(log n)
  4. DO(n²)
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 16 vértices y 16 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 16|E| = 16
k =
6.Teoría de grafosDifícil
101511111910119ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(G) del camino más corto de A a G en el grafo ponderado.

inicio: Afin: G
d(G) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Hace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Prim, con una cola de prioridad de las aristas que cruzan el corte, se ejecuta en O(E log V) con un montículo binario.

Respuesta

C · Hace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo

Por qué esta es la respuesta

Las aristas del emparejamiento no comparten vértices, así que el óptimo necesita al menos un vértice por arista, mientras que este método toma dos: una 2-aproximación.

Respuesta

B · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · 14

Por qué esta es la respuesta

Se apilan 3 y 4, + da 7; se apila 2, * da 7 × 2 = 14.

Respuesta

A · 14
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · O(α(n)), la inversa de la función de Ackermann, que en la práctica es constante

Por qué esta es la respuesta

Con ambas optimizaciones, las operaciones tardan O(α(n)) en tiempo amortizado; α(n) ≤ 4 para cualquier n realista.

Respuesta

A · O(α(n)), la inversa de la función de Ackermann, que en la práctica es constante
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 1

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

16 − 1 = 15

Aristas que quitar

k = 16 − 15 = 1

Respuesta

k = 1
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(G) = 19

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 10, C: 15
B (10): C: 11, G: 19
C (11)
G (19): D: 30, E: 28
E (28): F: 39
D (30)
F (39)

Camino más corto

A → B → G
d(G) = 19

Respuesta

d(G) = 19

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