Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Una función ejecuta un bucle de n iteraciones y después, por separado, otro bucle de n iteraciones. ¿Cuál es su complejidad temporal?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Los caminos simples más cortos pueden hallarse en tiempo polinómico. ¿Qué se sabe de hallar el camino simple más largo entre dos vértices en un grafo general?

  1. APuede resolverse con el algoritmo de Dijkstra con los pesos cambiados de signo
  2. BEs NP-difícil
  3. CEs indecidible
  4. DSiempre puede resolverse en O(V + E)
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es la altura en el peor caso de un árbol binario de búsqueda con n nodos si las claves se insertan en orden?

  1. Alog₂ n
  2. Bn (se convierte en una lista enlazada)
  3. C√n
  4. D1
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cuáles son los costes en tiempo y en espacio adicional de invertir en el sitio una lista simplemente enlazada?

  1. ATiempo O(n log n) y espacio adicional O(1)
  2. BTiempo O(1) y espacio adicional O(1)
  3. CTiempo O(n) y espacio adicional O(1)
  4. DTiempo O(n) y espacio adicional O(n)
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 8 vértices y 14 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 8|E| = 14
k =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 3 empiezan y terminan en D? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 3
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(n)

Por qué esta es la respuesta

n + n = 2n, y los factores constantes se eliminan, así que la función es O(n).

Respuesta

D · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Es NP-difícil

Por qué esta es la respuesta

Un camino simple más largo de longitud V − 1 es un camino hamiltoniano, un problema NP-completo; en grafos dirigidos acíclicos, en cambio, puede resolverse en tiempo lineal.

Respuesta

B · Es NP-difícil
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · n (se convierte en una lista enlazada)

Por qué esta es la respuesta

Las inserciones ordenadas crean un árbol degenerado de altura n, por lo que las búsquedas son O(n). Los árboles balanceados lo evitan.

Respuesta

B · n (se convierte en una lista enlazada)
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Tiempo O(n) y espacio adicional O(1)

Por qué esta es la respuesta

Con tres punteros (anterior, actual, siguiente) se puede invertir cada enlace en una sola pasada sin reservar nodos nuevos.

Respuesta

C · Tiempo O(n) y espacio adicional O(1)
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 7

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

8 − 1 = 7

Aristas que quitar

k = 14 − 7 = 7

Respuesta

k = 7
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Un paso más

(M³)DD = 1·0 + 1·1 + 1·0 + 2·0 + 1·1 = 2

Respuesta

N = 2

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