Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es el tiempo de ejecución del radix sort LSD sobre n enteros de d dígitos en base k?

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(n²)
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Los caminos simples más cortos pueden hallarse en tiempo polinómico. ¿Qué se sabe de hallar el camino simple más largo entre dos vértices en un grafo general?

  1. APuede resolverse con el algoritmo de Dijkstra con los pesos cambiados de signo
  2. BSiempre puede resolverse en O(V + E)
  3. CEs indecidible
  4. DEs NP-difícil
3.Estructuras de datosMedia

Un nodo de un árbol binario de búsqueda tiene subárbol derecho. ¿Dónde está su sucesor en orden?

  1. ASiempre en su hijo derecho
  2. BEn el nodo situado más a la derecha de su subárbol izquierdo
  3. CSiempre en su padre
  4. DEn el nodo situado más a la izquierda de su subárbol derecho
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cuáles son los costes en tiempo y en espacio adicional de invertir en el sitio una lista simplemente enlazada?

  1. ATiempo O(n) y espacio adicional O(1)
  2. BTiempo O(n) y espacio adicional O(n)
  3. CTiempo O(n log n) y espacio adicional O(1)
  4. DTiempo O(1) y espacio adicional O(1)
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 9 vértices y 19 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 9|E| = 19
k =
6.Teoría de grafosDifícil
157813181432ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(E) del camino más corto de A a E en el grafo ponderado.

inicio: Afin: E
d(E) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(d(n + k))

Por qué esta es la respuesta

Cada una de las d pasadas es un ordenamiento por cuentas de coste O(n + k), así que, con d y k fijos, el total es lineal en n.

Respuesta

A · O(d(n + k))
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Es NP-difícil

Por qué esta es la respuesta

Un camino simple más largo de longitud V − 1 es un camino hamiltoniano, un problema NP-completo; en grafos dirigidos acíclicos, en cambio, puede resolverse en tiempo lineal.

Respuesta

D · Es NP-difícil
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · En el nodo situado más a la izquierda de su subárbol derecho

Por qué esta es la respuesta

Todas las claves mayores cercanas al nodo están en su subárbol derecho, y la menor de ellas es el nodo situado más a la izquierda de ese subárbol.

Respuesta

D · En el nodo situado más a la izquierda de su subárbol derecho
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Tiempo O(n) y espacio adicional O(1)

Por qué esta es la respuesta

Con tres punteros (anterior, actual, siguiente) se puede invertir cada enlace en una sola pasada sin reservar nodos nuevos.

Respuesta

A · Tiempo O(n) y espacio adicional O(1)
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 11

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

9 − 1 = 8

Aristas que quitar

k = 19 − 8 = 11

Respuesta

k = 11
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(E) = 8

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 15, C: 7
C (7): E: 8, G: 9
E (8): D: 16
G (9): B: 12
B (12)
D (16): F: 30
F (30)

Camino más corto

A → C → E
d(E) = 8

Respuesta

d(E) = 8

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