Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Por qué la programación dinámica no aporta ninguna mejora real a merge sort?

  1. AMerge sort no tiene estructura recursiva
  2. BMerge sort ya es O(n)
  3. CSus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar
  4. DLa programación dinámica solo funciona con problemas de grafos, no con arreglos
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿En qué variante del problema de la mochila la regla voraz «tomar los objetos por orden de valor por unidad de peso» da siempre una respuesta óptima?

  1. ALa mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse
  2. BEn ninguna de las dos
  3. CLa mochila 0/1, en la que los objetos deben tomarse siempre enteros
  4. DEn ambas variantes
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué condición de equilibrio mantiene un árbol AVL en cada nodo?

  1. AAmbos subárboles de cada nodo contienen exactamente el mismo número de nodos
  2. BCada nodo está coloreado de rojo o de negro
  3. CLas alturas de los subárboles izquierdo y derecho difieren como máximo en 1
  4. DTodas las hojas están exactamente a la misma profundidad
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué podría un servidor elegir su función hash al azar de entre una familia universal?

  1. APara garantizar que dos claves nunca puedan colisionar, sean cuales sean las claves que envíe un atacante
  2. BPara que la tabla hash quede ordenada
  3. CPara que sea muy improbable que un atacante pueda elegir muchas claves que colisionen todas
  4. DPara eliminar la necesidad de redimensionar la tabla
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
19714134185915ABCDEFG

El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 4; las aristas descartadas no cuentan.

k = 4
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DF
  7. 7arista EF
  8. 8arista GC
  9. 9arista GE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Sus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar

Por qué esta es la respuesta

Las mitades de merge sort son disjuntas y cada una se resuelve una sola vez; la PD solo ayuda cuando los subproblemas se repiten, como en Fibonacci.

Respuesta

C · Sus subproblemas no se solapan, así que no hay nada que reutilizar
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · La mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse

Por qué esta es la respuesta

Cuando los objetos pueden dividirse, tomar primero el mejor cociente es óptimo; en la mochila 0/1 un objeto con un cociente alto puede bloquear una combinación mejor, así que hace falta programación dinámica.

Respuesta

A · La mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Las alturas de los subárboles izquierdo y derecho difieren como máximo en 1

Por qué esta es la respuesta

El factor de equilibrio (altura izquierda − altura derecha) debe ser −1, 0 o 1; las rotaciones lo restablecen tras las inserciones y eliminaciones.

Respuesta

C · Las alturas de los subárboles izquierdo y derecho difieren como máximo en 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Para que sea muy improbable que un atacante pueda elegir muchas claves que colisionen todas

Por qué esta es la respuesta

Con hashing universal, el número esperado de colisiones es pequeño para cualquier conjunto de claves, ya que el atacante no sabe qué función se eligió.

Respuesta

C · Para que sea muy improbable que un atacante pueda elegir muchas claves que colisionen todas
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vértices impares

C, E → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: arista GC

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

1. CE (4)
2. EF (5)
3. AC (7)
4. GC (9)
5. BD (13)
6. BC (14)

arista número 4

GC

Respuesta

arista GC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms