Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La complejidad temporal de Fibonacci recursivo ingenuo (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) es:

  1. AConstante
  2. BLogarítmica
  3. CExponencial
  4. DLineal
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre seleccionar el k-ésimo elemento más pequeño de un array no ordenado es correcta?

  1. AQuickselect se ejecuta en O(log n) en el peor caso, porque solo hace recursión en un lado del pivote
  2. BLa selección siempre necesita Ω(n log n) porque requiere ordenar
  3. CLa selección solo es posible en O(n²)
  4. DQuickselect se ejecuta en O(n) esperado, y la mediana de medianas garantiza O(n) en el peor caso
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es la altura en el peor caso de un árbol binario de búsqueda con n nodos si las claves se insertan en orden?

  1. A1
  2. B√n
  3. Cn (se convierte en una lista enlazada)
  4. Dlog₂ n
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué no se pueden eliminar elementos de un filtro de Bloom estándar simplemente poniendo a cero sus bits?

  1. ALos filtros de Bloom almacenan los elementos completos, que ya no pueden volver a localizarse una vez aplicado el hash
  2. BEliminar elevaría la tasa de falsos positivos al 100%
  3. CLos bits de un filtro de Bloom no pueden cambiarse después de crearlo
  4. DEsos bits pueden pertenecer también a otros elementos, lo que causaría falsos negativos
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 4 vértices de grado 3, 2 vértices de grado 4, 3 vértices de grado 5, 4 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

4 × deg 32 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 2 empiezan y terminan en E? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Exponencial

Por qué esta es la respuesta

El árbol de llamadas crece aproximadamente como φⁿ (unos 1,618ⁿ). La memoización lo reduce a O(n).

Respuesta

C · Exponencial
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Quickselect se ejecuta en O(n) esperado, y la mediana de medianas garantiza O(n) en el peor caso

Por qué esta es la respuesta

El trabajo esperado de quickselect es n + n/2 + n/4 + ... = O(n) con pivotes aleatorios; elegir como pivote una mediana de medianas hace lineal el peor caso.

Respuesta

D · Quickselect se ejecuta en O(n) esperado, y la mediana de medianas garantiza O(n) en el peor caso
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · n (se convierte en una lista enlazada)

Por qué esta es la respuesta

Las inserciones ordenadas crean un árbol degenerado de altura n, por lo que las búsquedas son O(n). Los árboles balanceados lo evitan.

Respuesta

C · n (se convierte en una lista enlazada)
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Esos bits pueden pertenecer también a otros elementos, lo que causaría falsos negativos

Por qué esta es la respuesta

Poner a cero un bit compartido haría que otro elemento pareciera ausente; los filtros de Bloom con contadores (counting Bloom filters) guardan contadores en lugar de bits para permitir eliminaciones.

Respuesta

D · Esos bits pueden pertenecer también a otros elementos, lo que causaría falsos negativos
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 19

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 43 = 2(L + 13) − 2
L = 19

Respuesta

L = 19

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 3

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

Respuesta

N = 3

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