Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal del algoritmo de Bellman-Ford en un grafo con V vértices y E aristas?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V × E)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Está 22n en O(2ⁿ)?

  1. ANo, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite
  2. BSí, porque los factores constantes del exponente se ignoran siempre en la notación O grande
  3. CNo, porque 22n crece más despacio que 2ⁿ
  4. DSí, porque ambos son exponenciales
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuántos nodos tiene un árbol binario perfecto de altura h, contando la altura en aristas?

  1. A2h+1 − 1
  2. Bh2
  3. C2h + 1
  4. D2h
4.Estructuras de datosDifícil

En el BST con raíz 50, subárbol izquierdo 30 (hijos 20, 40) y subárbol derecho 70 (hijos 60, 80), se elimina la raíz usando el sucesor en orden. ¿Qué clave pasa a ser la nueva raíz?

  1. A40
  2. B60
  3. C70
  4. D80
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 3, 3 vértices de grado 4, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 33 × deg 4
L =
6.Teoría de grafosDifícil
381378472ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(V × E)

Por qué esta es la respuesta

Cada una de las V − 1 rondas relaja las E aristas, lo que da O(VE); a cambio, admite pesos de arista negativos.

Respuesta

D · O(V × E)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · No, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite

Por qué esta es la respuesta

Una constante sumada al exponente da un factor constante, pero una constante que multiplica al exponente cambia la base y el ritmo de crecimiento.

Respuesta

A · No, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · 2h+1 − 1

Por qué esta es la respuesta

Sumar 1 + 2 + 4 + ... + 2h da 2h+1 − 1; por ejemplo, la altura 2 da 7 nodos.

Respuesta

A · 2h+1 − 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · 60

Por qué esta es la respuesta

El nodo situado más a la izquierda del subárbol derecho es 60, así que 60 sustituye a 50 y se elimina su posición anterior; usar el predecesor daría 40.

Respuesta

B · 60
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 10

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 18 = 2(L + 5) − 2
L = 10

Respuesta

L = 10

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 16

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 3, C: 8
B (3): D: 10, E: 5
E (5): D: 9
C (8)
D (9): F: 16
F (16)

Camino más corto

A → B → E → D → F
d(F) = 16

Respuesta

d(F) = 16

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