Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué significa que un problema tenga subestructura óptima?

  1. AEl problema tiene exactamente una solución óptima, que comparten todos sus subproblemas
  2. BEl problema puede resolverse en tiempo constante
  3. CTodos los subproblemas tienen el mismo tamaño
  4. DUna solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Un problema es NP-completo si:

  1. ASe puede resolver en tiempo polinómico
  2. BEstá en NP y todo problema NP se reduce a él en tiempo polinómico
  3. CEs imposible de resolver
  4. DEstá fuera de NP pero es más difícil que todos los problemas NP, como el problema de la parada
3.Estructuras de datosMedia

Tienes una referencia a un nodo situado en medio de una lista. ¿En qué lista puedes eliminarlo en O(1)?

  1. AUn arreglo dinámico
  2. BUn arreglo ordenado
  3. CUna lista doblemente enlazada
  4. DUna lista simplemente enlazada
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué se usan los árboles B en bases de datos y sistemas de archivos?

  1. AUsan menos memoria que cualquier arreglo, así que todo el índice cabe siempre en la memoria principal
  2. BAlmacenan los datos sin ordenar
  3. CSu alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco
  4. DNo necesitan rebalanceo
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K5? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K5
H =
6.Teoría de grafosDifícil
10154131438811ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 5; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas

Por qué esta es la respuesta

La subestructura óptima es necesaria para que tanto los algoritmos voraces como la programación dinámica den respuestas correctas.

Respuesta

D · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Está en NP y todo problema NP se reduce a él en tiempo polinómico

Por qué esta es la respuesta

Los problemas NP-completos son los más difíciles de NP; un algoritmo polinómico para uno de ellos daría uno para todo NP.

Respuesta

B · Está en NP y todo problema NP se reduce a él en tiempo polinómico
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Una lista doblemente enlazada

Por qué esta es la respuesta

Un nodo doblemente enlazado conoce a su predecesor, así que se pueden reenlazar directamente el anterior y el siguiente; en una lista simplemente enlazada hay que buscar el predecesor.

Respuesta

C · Una lista doblemente enlazada
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Su alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco

Por qué esta es la respuesta

Los árboles B almacenan muchas claves por nodo, así que la altura es pequeña y se necesitan pocas lecturas de bloques por búsqueda; los árboles B+ además enlazan las hojas para recorridos por rangos.

Respuesta

C · Su alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 12

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Respuesta

H = 12
6.Teoría de grafos

Respuesta: D

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 10, C: 15
2. B (10): C: 14, D: 23, E: 21
3. C (14)
4. E (21): F: 29
5. D (23)
6. F (29)

ronda 5

D

Respuesta

D

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