Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La búsqueda en anchura (BFS) en un grafo no ponderado encuentra:

  1. ALos caminos más cortos en grafos que contienen aristas con pesos negativos
  2. BLos caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial
  3. CUn orden topológico en todos los grafos
  4. DEl árbol de expansión mínima
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿En qué variante del problema de la mochila la regla voraz «tomar los objetos por orden de valor por unidad de peso» da siempre una respuesta óptima?

  1. ALa mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse
  2. BEn ninguna de las dos
  3. CEn ambas variantes
  4. DLa mochila 0/1, en la que los objetos deben tomarse siempre enteros
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánta memoria utiliza una matriz de adyacencia para un grafo con V vértices?

  1. AO(log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E)
  4. DO(V²)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué par de recorridos determina siempre un único árbol binario con claves distintas?

  1. ASolo el recorrido por niveles
  2. BSolo el preorden
  3. CPreorden y en orden
  4. DPreorden y postorden
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 20 vértices y 23 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 20|E| = 23
k =
6.Teoría de grafosDifícil
1514819112018103ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Los caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial

Por qué esta es la respuesta

BFS visita los nodos en orden de distancia (en aristas) desde el origen, así que encuentra los caminos más cortos no ponderados en O(V + E).

Respuesta

B · Los caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · La mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse

Por qué esta es la respuesta

Cuando los objetos pueden dividirse, tomar primero el mejor cociente es óptimo; en la mochila 0/1 un objeto con un cociente alto puede bloquear una combinación mejor, así que hace falta programación dinámica.

Respuesta

A · La mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · O(V²)

Por qué esta es la respuesta

Una matriz de adyacencia almacena V × V entradas, lo cual es eficiente para grafos densos; las listas de adyacencia usan O(V + E), mejor para grafos dispersos.

Respuesta

D · O(V²)
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Preorden y en orden

Por qué esta es la respuesta

El preorden da la raíz, y su posición en la secuencia en orden separa los subárboles izquierdo y derecho; preorden con postorden es ambiguo cuando un nodo tiene un solo hijo.

Respuesta

C · Preorden y en orden
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 4

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

20 − 1 = 19

Aristas que quitar

k = 23 − 19 = 4

Respuesta

k = 4
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 65

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

GE (3): tomar
BC (8): tomar
GC (10): tomar
DF (11): tomar
AC (14): tomar
AB (15): descartar, cierra un ciclo
GB (18): descartar, cierra un ciclo
DE (19): tomar

Peso total

W = 3 + 8 + 10 + 11 + 14 + 19 = 65

Respuesta

W = 65

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