Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué significa que un problema tenga subestructura óptima?

  1. ATodos los subproblemas tienen el mismo tamaño
  2. BUna solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
  3. CEl problema puede resolverse en tiempo constante
  4. DEl problema tiene exactamente una solución óptima, que comparten todos sus subproblemas
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es el coste amortizado de incrementar un contador binario, sabiendo que un incremento puede cambiar muchos bits?

  1. AO(log n) por incremento
  2. BO(n) por incremento
  3. CO(n log n) por incremento
  4. DO(1) por incremento
3.Estructuras de datosMedia

Una red de carreteras tiene 100,000 cruces, cada uno conectado con unos 4 más. ¿Qué representación es la más adecuada?

  1. ALista de adyacencia
  2. BMatriz de adyacencia
  3. CUn único arreglo ordenado de vértices
  4. DUn montículo binario de aristas
4.Estructuras de datosDifícil

Para cada elemento de un arreglo quieres el siguiente elemento mayor a su derecha, en un tiempo total O(n). ¿Qué estructura ayuda?

  1. AUna pila que guarda los elementos que esperan su respuesta
  2. BUna tabla hash con todos los elementos
  3. CUna cola que contiene todos los pares de elementos
  4. DUn árbol binario de búsqueda reconstruido para cada elemento
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K5? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K5
H =
6.Teoría de grafosDifícil
151010672106ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas

Por qué esta es la respuesta

La subestructura óptima es necesaria para que tanto los algoritmos voraces como la programación dinámica den respuestas correctas.

Respuesta

B · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(1) por incremento

Por qué esta es la respuesta

En n incrementos, el bit i cambia unas n / 2ⁱ veces, así que el total es menor que 2n cambios, una media de O(1) por incremento.

Respuesta

D · O(1) por incremento
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Lista de adyacencia

Por qué esta es la respuesta

Una matriz necesitaría 1010 celdas, casi todas vacías; una lista de adyacencia solo almacena unas 400,000 entradas de aristas.

Respuesta

A · Lista de adyacencia
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Una pila que guarda los elementos que esperan su respuesta

Por qué esta es la respuesta

Recorriendo de izquierda a derecha, se desapila cada elemento de la pila menor que el actual (el actual es su respuesta) y luego se apila este; cada elemento se mueve como máximo dos veces.

Respuesta

A · Una pila que guarda los elementos que esperan su respuesta
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 12

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Respuesta

H = 12
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 27

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 15, C: 10
C (10): E: 17
B (15): D: 21
E (17): D: 19, F: 27
D (19)
F (27)

Camino más corto

A → C → E → F
d(F) = 27

Respuesta

d(F) = 27

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