Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué afirmación sobre una función recursiva sin un caso base alcanzable es correcta?

  1. ASe ejecuta en tiempo O(1)
  2. BSigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas
  3. CEl compilador siempre la convierte en un bucle que termina sin problemas
  4. DDevuelve 0 automáticamente
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre la notación o pequeña es correcta?

  1. An = o(n), porque toda función es o pequeña de sí misma
  2. Bn = o(n²), pero n no es o(n)
  3. Cn² = o(n)
  4. D2n = o(n), porque 2n crece despacio
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué se cumple en la matriz de adyacencia de un grafo no dirigido?

  1. ACada fila tiene exactamente un 1
  2. BSiempre es triangular superior
  3. CEs simétrica respecto a la diagonal principal
  4. DSu diagonal principal siempre contiene unos
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué afirmación sobre heapsort es correcta?

  1. ANecesita un árbol binario de búsqueda como almacenamiento adicional, así que usa O(n) de memoria extra
  2. BOrdena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable
  3. CEs estable y necesita O(n) de memoria adicional
  4. DSe ejecuta en tiempo O(n) con cualquier entrada
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 18 vértices y 29 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 18|E| = 29
k =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 2 empiezan y terminan en D? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Sigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas

Por qué esta es la respuesta

Sin caso base, la recursión nunca termina; en la práctica se agota la memoria para los marcos de pila y el programa falla.

Respuesta

B · Sigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · n = o(n²), pero n no es o(n)

Por qué esta es la respuesta

f = o(g) significa que f(n) / g(n) tiende a 0; n / n² tiende a 0, pero n / n = 1 no.

Respuesta

B · n = o(n²), pero n no es o(n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Es simétrica respecto a la diagonal principal

Por qué esta es la respuesta

En un grafo no dirigido, la arista {u, v} implica que tanto M[u][v] como M[v][u] están marcadas, así que la matriz es igual a su traspuesta.

Respuesta

C · Es simétrica respecto a la diagonal principal
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Ordena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable

Por qué esta es la respuesta

Heapsort construye un max-heap y extrae el máximo n veces dentro del mismo arreglo; los intercambios a larga distancia pueden reordenar claves iguales.

Respuesta

B · Ordena en el sitio con un tiempo O(n log n) en el peor caso, pero no es estable
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 12

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

18 − 1 = 17

Aristas que quitar

k = 29 − 17 = 12

Respuesta

k = 12
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Vecinos comunes

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 2

Respuesta

N = 2

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