Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Aproximadamente cuántas comparaciones necesita la búsqueda binaria en el peor caso en un array ordenado de 1,000,000 de elementos?

  1. AUnas 20
  2. BUnas 1,000
  3. CUnas 500,000
  4. DUnas 100
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El algoritmo de Strassen multiplica matrices usando 7 multiplicaciones recursivas de bloques de la mitad de tamaño en lugar de 8. ¿Cuál es su tiempo de ejecución?

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n2)
  4. DΘ(nlog₂ 7), aproximadamente n2,81
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánto tarda la búsqueda de una palabra de longitud L en un trie con un alfabeto fijo?

  1. AO(L × n)
  2. BO(log n), donde n es el número de palabras
  3. CO(n), donde n es el número de palabras
  4. DO(L), independientemente de cuántas palabras haya almacenadas
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué no se pueden eliminar elementos de un filtro de Bloom estándar simplemente poniendo a cero sus bits?

  1. AEliminar elevaría la tasa de falsos positivos al 100%
  2. BLos filtros de Bloom almacenan los elementos completos, que ya no pueden volver a localizarse una vez aplicado el hash
  3. CLos bits de un filtro de Bloom no pueden cambiarse después de crearlo
  4. DEsos bits pueden pertenecer también a otros elementos, lo que causaría falsos negativos
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K8? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K8
H =
6.Teoría de grafosDifícil
18212117138371620ABCDEFG

El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 6; las aristas descartadas no cuentan.

k = 6
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista DF
  8. 8arista EF
  9. 9arista GB
  10. 10arista GD
  11. 11arista GE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Unas 20

Por qué esta es la respuesta

220 ≈ 1,048,576, así que tras unas 20 divisiones por la mitad solo queda un elemento.

Respuesta

A · Unas 20
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Θ(nlog₂ 7), aproximadamente n2,81

Por qué esta es la respuesta

Con a = 7 y b = 2, nlog₂ 7 domina al trabajo de sumas O(n²), lo que da aproximadamente n2,81.

Respuesta

D · Θ(nlog₂ 7), aproximadamente n2,81
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · O(L), independientemente de cuántas palabras haya almacenadas

Por qué esta es la respuesta

Cada carácter selecciona un hijo, así que una búsqueda requiere L pasos, contenga el trie las palabras que contenga.

Respuesta

D · O(L), independientemente de cuántas palabras haya almacenadas
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Esos bits pueden pertenecer también a otros elementos, lo que causaría falsos negativos

Por qué esta es la respuesta

Poner a cero un bit compartido haría que otro elemento pareciera ausente; los filtros de Bloom con contadores (counting Bloom filters) guardan contadores en lugar de bits para permitir eliminaciones.

Respuesta

D · Esos bits pueden pertenecer también a otros elementos, lo que causaría falsos negativos
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 2520

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Respuesta

H = 2520
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista BC

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

1. BD (1)
2. AC (2)
3. EF (3)
4. GB (7)
5. DF (8)
6. BC (12)

arista número 6

BC

Respuesta

arista BC

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