Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿En qué variante del problema de la mochila la regla voraz «tomar los objetos por orden de valor por unidad de peso» da siempre una respuesta óptima?

  1. ALa mochila 0/1, en la que los objetos deben tomarse siempre enteros
  2. BEn ambas variantes
  3. CLa mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse
  4. DEn ninguna de las dos
3.Estructuras de datosMedia

Se implementa una cola con dos pilas: push en una pila «entrada» y pop de una pila «salida», que se rellena desde «entrada» cuando está vacía. ¿Cuál es el coste amortizado por operación?

  1. AO(n²)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué problema del sondeo lineal reduce principalmente el doble hashing?

  1. ALa necesidad de almacenar las claves en la tabla
  2. BEl coste O(n) de leer el valor de una clave
  3. CEl agrupamiento primario, en el que se forman largas secuencias de posiciones ocupadas
  4. DLa necesidad de una función hash
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 3, 4 vértices de grado 5, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 34 × deg 5
L =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 2 empiezan y terminan en B? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(2ⁿ)

Por qué esta es la respuesta

El número de llamadas se duplica en cada nivel y hay n niveles, así que el total es de unos 2ⁿ, como en las torres de Hanói.

Respuesta

A · O(2ⁿ)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · La mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse

Por qué esta es la respuesta

Cuando los objetos pueden dividirse, tomar primero el mejor cociente es óptimo; en la mochila 0/1 un objeto con un cociente alto puede bloquear una combinación mejor, así que hace falta programación dinámica.

Respuesta

C · La mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(1)

Por qué esta es la respuesta

Cada elemento se apila y se desapila como máximo dos veces en total, así que, aunque un rellenado puede costar O(n), la media a lo largo de una secuencia es O(1).

Respuesta

B · O(1)
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · El agrupamiento primario, en el que se forman largas secuencias de posiciones ocupadas

Por qué esta es la respuesta

El sondeo lineal avanza de 1 en 1, así que las secuencias ocupadas crecen y se fusionan; el doble hashing usa un segundo hash para el tamaño del salto, de modo que claves distintas sondean secuencias distintas.

Respuesta

C · El agrupamiento primario, en el que se forman largas secuencias de posiciones ocupadas
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 16

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 26 = 2(L + 6) − 2
L = 16

Respuesta

L = 16

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 4

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 4

Respuesta

N = 4

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