Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué algoritmo encuentra los caminos más cortos desde un origen en un grafo con pesos de aristas no negativos?

  1. AAlgoritmo de Kruskal
  2. BBúsqueda en profundidad (DFS)
  3. CAlgoritmo de Dijkstra
  4. DBellman-Ford es necesario en todos los casos
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cómo se comparan n! y 2ⁿ para n grande?

  1. An! crece más deprisa que 2ⁿ
  2. B2ⁿ crece más deprisa que n!
  3. Cn! es O(n²)
  4. DCrecen al mismo ritmo
3.Estructuras de datosMedia

En una tabla hash con direccionamiento abierto, ¿cuál es el factor de carga máximo posible?

  1. A0,5
  2. B2
  3. CNo hay máximo
  4. D1
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué par de recorridos determina siempre un único árbol binario con claves distintas?

  1. APreorden y en orden
  2. BSolo el recorrido por niveles
  3. CSolo el preorden
  4. DPreorden y postorden
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 15 vértices y 21 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 15|E| = 21
k =
6.Teoría de grafosDifícil
4844321314ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Algoritmo de Dijkstra

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Dijkstra funciona con pesos no negativos; Bellman-Ford admite pesos negativos; Kruskal construye árboles de expansión mínima.

Respuesta

C · Algoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · n! crece más deprisa que 2ⁿ

Por qué esta es la respuesta

Para n ≥ 4, n! supera a 2ⁿ, y el cociente crece sin límite porque cada factor adicional de n! es mayor que 2.

Respuesta

A · n! crece más deprisa que 2ⁿ
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · 1

Por qué esta es la respuesta

Con direccionamiento abierto todas las claves se almacenan en la propia tabla, así que n no puede superar m; con encadenamiento separado el factor de carga puede ser mayor que 1.

Respuesta

D · 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Preorden y en orden

Por qué esta es la respuesta

El preorden da la raíz, y su posición en la secuencia en orden separa los subárboles izquierdo y derecho; preorden con postorden es ambiguo cuando un nodo tiene un solo hijo.

Respuesta

A · Preorden y en orden
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 7

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

15 − 1 = 14

Aristas que quitar

k = 21 − 14 = 7

Respuesta

k = 7
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 17

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 4, C: 8
B (4): E: 18
C (8): E: 12
E (12): D: 15, F: 25
D (15): F: 17
F (17)

Camino más corto

A → C → E → D → F
d(F) = 17

Respuesta

d(F) = 17

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