Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Por qué muchas rutinas de ordenación de las bibliotecas cambian al ordenamiento por inserción para subarrays muy pequeños?

  1. AEl ordenamiento por inserción es O(n log n) en el peor caso
  2. BEl ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas
  3. CEl ordenamiento por inserción usa menos memoria que cualquier otro algoritmo de ordenamiento con entradas grandes
  4. DLos algoritmos recursivos no pueden tratar arrays de menos de 10 elementos
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre la notación o pequeña es correcta?

  1. A2n = o(n), porque 2n crece despacio
  2. Bn = o(n²), pero n no es o(n)
  3. Cn = o(n), porque toda función es o pequeña de sí misma
  4. Dn² = o(n)
3.Estructuras de datosMedia

Una tabla hash de tamaño 7 usa h(k) = k mod 7 y sondeo lineal. Después de insertar 10, ¿dónde se almacena 17?

  1. AEn el índice 6
  2. BEn el índice 0
  3. CEn el índice 4
  4. DEn el índice 3
4.Estructuras de datosDifícil

Un objeto se almacena como clave en un mapa hash y después se modifica un campo que usa su función hash. ¿Cuál es el resultado probable?

  1. ANo cambia nada, porque el hash de una clave se calcula una sola vez al iniciar el programa
  2. BEl mapa lanza un error en el momento en que cambia el campo
  3. CEl mapa mueve automáticamente la clave a su nueva cubeta
  4. DLa búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 3, 2 vértices de grado 4, 3 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 32 × deg 43 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
86418109117191213ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · El ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas

Por qué esta es la respuesta

Para n pequeño, el bucle sencillo del ordenamiento por inserción supera la sobrecarga de la recursión de quicksort o merge sort, aunque sea O(n²).

Respuesta

B · El ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · n = o(n²), pero n no es o(n)

Por qué esta es la respuesta

f = o(g) significa que f(n) / g(n) tiende a 0; n / n² tiende a 0, pero n / n = 1 no.

Respuesta

B · n = o(n²), pero n no es o(n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · En el índice 4

Por qué esta es la respuesta

10 mod 7 = 3 y 17 mod 7 = 3; el índice 3 está ocupado, así que el sondeo lineal prueba la posición siguiente, el índice 4.

Respuesta

C · En el índice 4
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · La búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo

Por qué esta es la respuesta

La posición de la clave se eligió a partir de su hash antiguo; con un hash nuevo, las búsquedas miran en la cubeta equivocada, por lo que las claves deberían ser inmutables.

Respuesta

D · La búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 9

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 23 = 2(L + 8) − 2
L = 9

Respuesta

L = 9

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 49

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

EF (1): tomar
BC (4): tomar
AC (6): tomar
AB (8): descartar, cierra un ciclo
DF (9): tomar
DE (10): descartar, cierra un ciclo
GD (12): tomar
GE (13): descartar, cierra un ciclo
GB (17): tomar

Peso total

W = 1 + 4 + 6 + 9 + 12 + 17 = 49

Respuesta

W = 49

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