Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué algoritmo encuentra los caminos más cortos desde un origen en un grafo con pesos de aristas no negativos?

  1. ABúsqueda en profundidad (DFS)
  2. BAlgoritmo de Dijkstra
  3. CAlgoritmo de Kruskal
  4. DBellman-Ford es necesario en todos los casos
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál de estos problemas de satisfacibilidad se sabe que es resoluble en tiempo polinómico?

  1. A3-SAT, donde cada cláusula tiene exactamente tres literales
  2. BLa satisfacibilidad de circuitos
  3. C2-SAT, donde cada cláusula tiene como mucho dos literales
  4. DSAT general sobre fórmulas en forma normal conjuntiva
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánto tarda la búsqueda de una palabra de longitud L en un trie con un alfabeto fijo?

  1. AO(log n), donde n es el número de palabras
  2. BO(L × n)
  3. CO(L), independientemente de cuántas palabras haya almacenadas
  4. DO(n), donde n es el número de palabras
4.Estructuras de datosDifícil

¿En qué mejora un radix tree (trie comprimido) a un trie simple?

  1. ASolo guarda la primera letra de cada palabra
  2. BAlmacena cada palabra en una tabla hash en la raíz en lugar de en nodos separados
  3. COrdena los hijos de cada nodo por frecuencia
  4. DFusiona las cadenas de nodos con un solo hijo en una arista etiquetada con una cadena
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 16 vértices y 24 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 16|E| = 24
k =
6.Teoría de grafosDifícil
2131251211101012311ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Algoritmo de Dijkstra

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Dijkstra funciona con pesos no negativos; Bellman-Ford admite pesos negativos; Kruskal construye árboles de expansión mínima.

Respuesta

B · Algoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · 2-SAT, donde cada cláusula tiene como mucho dos literales

Por qué esta es la respuesta

2-SAT está en P (tiempo lineal mediante componentes fuertemente conexas), mientras que 3-SAT es NP-completo.

Respuesta

C · 2-SAT, donde cada cláusula tiene como mucho dos literales
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · O(L), independientemente de cuántas palabras haya almacenadas

Por qué esta es la respuesta

Cada carácter selecciona un hijo, así que una búsqueda requiere L pasos, contenga el trie las palabras que contenga.

Respuesta

C · O(L), independientemente de cuántas palabras haya almacenadas
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Fusiona las cadenas de nodos con un solo hijo en una arista etiquetada con una cadena

Por qué esta es la respuesta

Contraer los caminos sin ramificaciones reduce el número de nodos y la memoria usada, sin perder la búsqueda por prefijo.

Respuesta

D · Fusiona las cadenas de nodos con un solo hijo en una arista etiquetada con una cadena
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 9

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

16 − 1 = 15

Aristas que quitar

k = 24 − 15 = 9

Respuesta

k = 9
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 17

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 2, C: 13
B (2): D: 7, G: 14
D (7): E: 18, F: 17, G: 10
G (10)
C (13)
F (17)
E (18)

Camino más corto

A → B → D → F
d(F) = 17

Respuesta

d(F) = 17

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