Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Con monedas de 1, 3 y 4 y una cantidad de 6, ¿cuántas monedas usa el método voraz de «la moneda más grande primero», comparado con el óptimo?

  1. AEl voraz usa 4 monedas; el óptimo es 3
  2. BEl voraz usa 2 monedas; el óptimo es 2
  3. CEl voraz usa 3 monedas; el óptimo es 3
  4. DEl voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué estableció el teorema de Cook-Levin?

  1. AEl problema de la parada es indecidible
  2. BEl problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
  3. CP no es igual a NP
  4. DTodo problema NP puede resolverse en tiempo exponencial
3.Estructuras de datosMedia

¿Cómo se encuentra la clave mínima en un árbol binario de búsqueda?

  1. ASeguir los hijos derechos desde la raíz hasta que no haya hijo derecho
  2. BMirar solo la raíz
  3. CSeguir los hijos izquierdos desde la raíz hasta que no haya hijo izquierdo
  4. DVisitar todas las hojas y compararlas
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué propiedad mantiene perfectamente equilibrado todo árbol B?

  1. ALas claves solo se almacenan en la raíz
  2. BTodas las hojas están a la misma profundidad
  3. CCada nodo tiene exactamente dos hijos
  4. DCada nodo almacena una clave
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos de longitud 2 van de A a B? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · El voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2

Por qué esta es la respuesta

El voraz toma 4 + 1 + 1 = 3 monedas, pero 3 + 3 usa solo 2, así que el método voraz no es óptimo para este sistema de monedas; la programación dinámica sí lo es.

Respuesta

D · El voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo

Por qué esta es la respuesta

Cook y Levin demostraron de forma independiente que todo problema de NP se reduce a SAT en tiempo polinómico, así que SAT fue el primer problema NP-completo conocido.

Respuesta

B · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Seguir los hijos izquierdos desde la raíz hasta que no haya hijo izquierdo

Por qué esta es la respuesta

El nodo situado más a la izquierda no tiene ninguna clave menor en el árbol, así que es el mínimo; el coste es proporcional a la altura.

Respuesta

C · Seguir los hijos izquierdos desde la raíz hasta que no haya hijo izquierdo
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Todas las hojas están a la misma profundidad

Por qué esta es la respuesta

Los nodos se dividen hacia arriba cuando están llenos y el árbol solo gana altura cuando se divide la raíz, así que todas las hojas permanecen siempre en el mismo nivel.

Respuesta

B · Todas las hojas están a la misma profundidad
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Vértices impares

A, B, C, D, E, F → 6
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 1

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)AB = 0·1 + 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 + 0·0 = 1

Respuesta

N = 1

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