Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Con monedas de 1, 3 y 4 y una cantidad de 6, ¿cuántas monedas usa el método voraz de «la moneda más grande primero», comparado con el óptimo?

  1. AEl voraz usa 3 monedas; el óptimo es 3
  2. BEl voraz usa 2 monedas; el óptimo es 2
  3. CEl voraz usa 4 monedas; el óptimo es 3
  4. DEl voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué definición de la clase NP es correcta?

  1. AProblemas que ningún algoritmo puede resolver
  2. BProblemas que no son polinómicos
  3. CProblemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado
  4. DProblemas que no pueden resolverse en tiempo polinómico
3.Estructuras de datosMedia

¿Para qué sirve un nodo centinela (ficticio) en una lista enlazada?

  1. APara almacenar el número de elementos
  2. BPara impedir que la lista crezca más allá de un número máximo fijo de nodos
  3. CPara mantener la lista ordenada
  4. DPara simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cómo se puede detectar si una lista simplemente enlazada contiene un ciclo usando O(1) de memoria adicional?

  1. AGuardar cada nodo visitado en un conjunto hash
  2. BMover un puntero de uno en uno y otro de dos en dos y comprobar si se encuentran
  3. COrdenar la lista y buscar duplicados
  4. DContar los nodos hasta que la cuenta supere el campo de longitud de la lista
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 16 vértices y 24 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 16|E| = 24
k =
6.Teoría de grafosDifícil
11210914518217ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · El voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2

Por qué esta es la respuesta

El voraz toma 4 + 1 + 1 = 3 monedas, pero 3 + 3 usa solo 2, así que el método voraz no es óptimo para este sistema de monedas; la programación dinámica sí lo es.

Respuesta

D · El voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Problemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado

Por qué esta es la respuesta

En un problema NP, una solución propuesta (certificado) puede comprobarse rápidamente, por ejemplo verificar que una asignación dada satisface una fórmula booleana.

Respuesta

C · Problemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola

Por qué esta es la respuesta

Con un centinela, todo nodo real tiene un predecesor, así que insertar o eliminar en la cabeza no requiere ningún tratamiento especial.

Respuesta

D · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Mover un puntero de uno en uno y otro de dos en dos y comprobar si se encuentran

Por qué esta es la respuesta

En el algoritmo de Floyd, si hay un ciclo, el puntero rápido acaba alcanzando al lento; si no, el puntero rápido llega a null.

Respuesta

B · Mover un puntero de uno en uno y otro de dos en dos y comprobar si se encuentran
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 9

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

16 − 1 = 15

Aristas que quitar

k = 24 − 15 = 9

Respuesta

k = 9
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 41

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

AB (1): tomar
GB (2): tomar
DF (5): tomar
BD (9): tomar
BC (10): tomar
AC (12): descartar, cierra un ciclo
DE (14): tomar

Peso total

W = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 14 = 41

Respuesta

W = 41

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