Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de calcular el n-ésimo número de Fibonacci con una tabla ascendente (bottom-up)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre P y NP es correcta?

  1. ATodo problema de P también está en NP
  2. BNP significa «no polinómico»
  3. CLas soluciones de los problemas NP no se pueden verificar rápidamente
  4. DSe ha demostrado que P ≠ NP
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánto se tarda en comprobar si existe la arista (u, v) con una matriz de adyacencia?

  1. AO(log V)
  2. BO(1)
  3. CO(V)
  4. DO(E)
4.Estructuras de datosDifícil

¿En qué mejora un radix tree (trie comprimido) a un trie simple?

  1. AOrdena los hijos de cada nodo por frecuencia
  2. BSolo guarda la primera letra de cada palabra
  3. CFusiona las cadenas de nodos con un solo hijo en una arista etiquetada con una cadena
  4. DAlmacena cada palabra en una tabla hash en la raíz en lugar de en nodos separados
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 4 vértices de grado 4, 2 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

4 × deg 42 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
141512161069117ABCDEFG

El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 3; las aristas descartadas no cuentan.

k = 3
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista DE
  6. 6arista DF
  7. 7arista GB
  8. 8arista GC
  9. 9arista GE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Rellenar la tabla de 0 a n requiere una suma por entrada, así que el trabajo es lineal en lugar de exponencial.

Respuesta

B · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Todo problema de P también está en NP

Por qué esta es la respuesta

P ⊆ NP: si puedes resolver un problema rápidamente, puedes verificar una solución rápidamente. Si P = NP sigue siendo una cuestión abierta.

Respuesta

A · Todo problema de P también está en NP
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(1)

Por qué esta es la respuesta

La entrada de la fila u y la columna v indica de inmediato si la arista existe; con una lista de adyacencia puede ser necesario recorrer los vecinos de u.

Respuesta

B · O(1)
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Fusiona las cadenas de nodos con un solo hijo en una arista etiquetada con una cadena

Por qué esta es la respuesta

Contraer los caminos sin ramificaciones reduce el número de nodos y la memoria usada, sin perder la búsqueda por prefijo.

Respuesta

C · Fusiona las cadenas de nodos con un solo hijo en una arista etiquetada con una cadena
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 10

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 20 = 2(L + 6) − 2
L = 10

Respuesta

L = 10

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: arista GB

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

1. GC (1)
2. DF (6)
3. GB (9)
4. DE (10)
5. AB (14)
6. BD (16)

arista número 3

GB

Respuesta

arista GB

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