Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué mide el análisis amortizado?

  1. AEl coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso
  2. BEl coste esperado con entradas aleatorias
  3. CEl coste de la única operación más cara de toda la secuencia
  4. DEl coste de un algoritmo con la mejor entrada
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es el tiempo de ejecución del algoritmo de Dijkstra con un montículo binario en un grafo con V vértices y E aristas?

  1. AO((V + E) log V)
  2. BO(V³)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V + E)
3.Estructuras de datosMedia

¿Cómo se encuentra la clave mínima en un árbol binario de búsqueda?

  1. ASeguir los hijos derechos desde la raíz hasta que no haya hijo derecho
  2. BVisitar todas las hojas y compararlas
  3. CSeguir los hijos izquierdos desde la raíz hasta que no haya hijo izquierdo
  4. DMirar solo la raíz
4.Estructuras de datosDifícil

Un objeto se almacena como clave en un mapa hash y después se modifica un campo que usa su función hash. ¿Cuál es el resultado probable?

  1. ALa búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo
  2. BNo cambia nada, porque el hash de una clave se calcula una sola vez al iniciar el programa
  3. CEl mapa mueve automáticamente la clave a su nueva cubeta
  4. DEl mapa lanza un error en el momento en que cambia el campo
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 15 vértices y 17 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 15|E| = 17
k =
6.Teoría de grafosDifícil
9889131210ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 4; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · El coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso

Por qué esta es la respuesta

El análisis amortizado reparte el coste de las operaciones caras y poco frecuentes entre muchas baratas, lo que da una media garantizada para cualquier secuencia.

Respuesta

A · El coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O((V + E) log V)

Por qué esta es la respuesta

Hay V operaciones extract-min y hasta E operaciones decrease-key, cada una O(log V); un montículo de Fibonacci lo mejora a O(E + V log V).

Respuesta

A · O((V + E) log V)
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Seguir los hijos izquierdos desde la raíz hasta que no haya hijo izquierdo

Por qué esta es la respuesta

El nodo situado más a la izquierda no tiene ninguna clave menor en el árbol, así que es el mínimo; el coste es proporcional a la altura.

Respuesta

C · Seguir los hijos izquierdos desde la raíz hasta que no haya hijo izquierdo
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · La búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo

Por qué esta es la respuesta

La posición de la clave se eligió a partir de su hash antiguo; con un hash nuevo, las búsquedas miran en la cubeta equivocada, por lo que las claves deberían ser inmutables.

Respuesta

A · La búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 3

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

15 − 1 = 14

Aristas que quitar

k = 17 − 14 = 3

Respuesta

k = 3
6.Teoría de grafos

Respuesta: D

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 9, C: 8
2. C (8): E: 21
3. B (9): D: 18, E: 19
4. D (18): F: 20
5. E (19)
6. F (20)

ronda 4

D

Respuesta

D

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