Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué algoritmo encuentra los caminos más cortos desde un origen en un grafo con pesos de aristas no negativos?

  1. AAlgoritmo de Dijkstra
  2. BBellman-Ford es necesario en todos los casos
  3. CAlgoritmo de Kruskal
  4. DBúsqueda en profundidad (DFS)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué dos cosas hay que demostrar para probar que un problema de decisión X es NP-completo?

  1. AQue X está en NP y que un problema NP-completo conocido se reduce a X en tiempo polinómico
  2. BQue X está en P y que X se reduce a SAT
  3. CQue X no tiene algoritmo polinómico y que X es decidible
  4. DQue X se reduce a un problema de P y que X está en NP
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué estructura de datos utiliza la búsqueda en profundidad (DFS) en su versión iterativa?

  1. AUna pila
  2. BUna cola
  3. CUn montículo
  4. DSolo una tabla hash
4.Estructuras de datosDifícil

¿En qué mejora un radix tree (trie comprimido) a un trie simple?

  1. ASolo guarda la primera letra de cada palabra
  2. BFusiona las cadenas de nodos con un solo hijo en una arista etiquetada con una cadena
  3. CAlmacena cada palabra en una tabla hash en la raíz en lugar de en nodos separados
  4. DOrdena los hijos de cada nodo por frecuencia
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
6143510315913ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 3; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Algoritmo de Dijkstra

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Dijkstra funciona con pesos no negativos; Bellman-Ford admite pesos negativos; Kruskal construye árboles de expansión mínima.

Respuesta

A · Algoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Que X está en NP y que un problema NP-completo conocido se reduce a X en tiempo polinómico

Por qué esta es la respuesta

La pertenencia a NP muestra que X no es más difícil que NP; la reducción desde un problema NP-completo conocido muestra que X es al menos tan difícil como todo NP.

Respuesta

A · Que X está en NP y que un problema NP-completo conocido se reduce a X en tiempo polinómico
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Una pila

Por qué esta es la respuesta

DFS explora lo más profundo posible y usa de forma natural una pila (o la pila de llamadas de la recursión); BFS usa una cola.

Respuesta

A · Una pila
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Fusiona las cadenas de nodos con un solo hijo en una arista etiquetada con una cadena

Por qué esta es la respuesta

Contraer los caminos sin ramificaciones reduce el número de nodos y la memoria usada, sin perder la búsqueda por prefijo.

Respuesta

B · Fusiona las cadenas de nodos con un solo hijo en una arista etiquetada con una cadena
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Vértices impares

A, C, D, E → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: C

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 6, C: 14
2. B (6): C: 9, D: 11, E: 19
3. C (9)
4. D (11): E: 14, F: 26
5. E (14): F: 23
6. F (23)

ronda 3

C

Respuesta

C

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