Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal del algoritmo estándar de programación dinámica para la subsecuencia común más larga de dos cadenas de longitudes m y n?

  1. AO(2m+n)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(mn)
  4. DO(m + n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El ordenamiento por inserción se ejecuta en O(n) con una entrada ordenada. ¿Contradice esto la cota inferior Ω(n log n) de la ordenación por comparaciones?

  1. ASí, pero solo para arrays de menos de 100 elementos
  2. BNo, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada
  3. CNo, porque el ordenamiento por inserción no es una ordenación por comparaciones
  4. DSí, así que la cota inferior es errónea
3.Estructuras de datosMedia

Una aplicación necesita búsquedas rápidas y además listar las claves en orden y responder consultas por rangos. ¿Qué estructura encaja mejor?

  1. AUna pila
  2. BUn árbol binario de búsqueda balanceado
  3. CUna tabla hash
  4. DUna lista enlazada sin ordenar
4.Estructuras de datosDifícil

La complejidad temporal de decrease-key en un montículo binario (conociendo la posición del elemento) es:

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
1221081561413113ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(mn)

Por qué esta es la respuesta

La tabla tiene (m + 1)(n + 1) celdas y cada una se calcula en O(1) a partir de sus vecinas.

Respuesta

C · O(mn)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · No, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada

Por qué esta es la respuesta

La cota dice que toda ordenación por comparaciones necesita unas n log n comparaciones con alguna entrada de tamaño n; entradas especiales pueden ser mucho más rápidas.

Respuesta

B · No, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Un árbol binario de búsqueda balanceado

Por qué esta es la respuesta

Un BST balanceado ofrece búsquedas en O(log n) y mantiene las claves ordenadas, así que el recorrido en orden y las consultas por rangos son sencillos; una tabla hash dispersa las claves.

Respuesta

B · Un árbol binario de búsqueda balanceado
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Tras disminuir la clave, el elemento sube (sift-up) como máximo la altura del montículo. Los montículos de Fibonacci logran decrease-key en O(1) amortizado.

Respuesta

D · O(log n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Vértices impares

A, C, E, G → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 43

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

AC (2): tomar
GE (3): tomar
DE (6): tomar
BD (8): tomar
BC (10): tomar
GC (11): descartar, cierra un ciclo
AB (12): descartar, cierra un ciclo
GB (13): descartar, cierra un ciclo
DF (14): tomar

Peso total

W = 2 + 3 + 6 + 8 + 10 + 14 = 43

Respuesta

W = 43

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