Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cómo construye el algoritmo de Prim un árbol de expansión mínima?

  1. AEjecuta una búsqueda en anchura y se queda con el árbol BFS
  2. BHace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol
  3. COrdena todas las aristas por peso y añade cada una salvo que forme un ciclo en el bosque
  4. DElimina la arista más cara hasta que no quedan ciclos
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿En qué variante del problema de la mochila la regla voraz «tomar los objetos por orden de valor por unidad de peso» da siempre una respuesta óptima?

  1. AEn ambas variantes
  2. BLa mochila 0/1, en la que los objetos deben tomarse siempre enteros
  3. CLa mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse
  4. DEn ninguna de las dos
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es la altura en el peor caso de un árbol binario de búsqueda con n nodos si las claves se insertan en orden?

  1. An (se convierte en una lista enlazada)
  2. Blog₂ n
  3. C√n
  4. D1
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué problema del sondeo lineal reduce principalmente el doble hashing?

  1. ALa necesidad de almacenar las claves en la tabla
  2. BLa necesidad de una función hash
  3. CEl agrupamiento primario, en el que se forman largas secuencias de posiciones ocupadas
  4. DEl coste O(n) de leer el valor de una clave
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
19115439718ABCDEF

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Hace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Prim, con una cola de prioridad de las aristas que cruzan el corte, se ejecuta en O(E log V) con un montículo binario.

Respuesta

B · Hace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · La mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse

Por qué esta es la respuesta

Cuando los objetos pueden dividirse, tomar primero el mejor cociente es óptimo; en la mochila 0/1 un objeto con un cociente alto puede bloquear una combinación mejor, así que hace falta programación dinámica.

Respuesta

C · La mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · n (se convierte en una lista enlazada)

Por qué esta es la respuesta

Las inserciones ordenadas crean un árbol degenerado de altura n, por lo que las búsquedas son O(n). Los árboles balanceados lo evitan.

Respuesta

A · n (se convierte en una lista enlazada)
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · El agrupamiento primario, en el que se forman largas secuencias de posiciones ocupadas

Por qué esta es la respuesta

El sondeo lineal avanza de 1 en 1, así que las secuencias ocupadas crecen y se fusionan; el doble hashing usa un segundo hash para el tamaño del salto, de modo que claves distintas sondean secuencias distintas.

Respuesta

C · El agrupamiento primario, en el que se forman largas secuencias de posiciones ocupadas
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 30

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

DE (3): tomar
CE (4): tomar
BC (5): tomar
EF (7): tomar
DF (9): descartar, cierra un ciclo
AC (11): tomar

Peso total

W = 3 + 4 + 5 + 7 + 11 = 30

Respuesta

W = 30

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