Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árbol y bosque: |E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en K_n: (n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L: (Mᴸ)_ij

Método

Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = T(n − 1) + O(1)?

AO(log n)
BO(n²)
CO(2ⁿ)
DO(n)

2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué el algoritmo de Dijkstra puede dar resultados erróneos cuando algunos pesos de arista son negativos?

ALos números negativos no pueden guardarse en una cola de prioridad
BUn vértice se da por cerrado al extraerlo, pero una arista negativa posterior aún podría darle un camino más corto
CEntra en un bucle infinito con cada arista negativa
DSolo funciona con grafos no dirigidos

3.Estructuras de datosMedia

En una tabla hash con direccionamiento abierto, ¿cuál es el factor de carga máximo posible?

A0,5
B1
CNo hay máximo
D2

4.Estructuras de datosDifícil

La estructura union-find (conjuntos disjuntos) con unión por rango y compresión de caminos tiene un coste amortizado por operación de:

AO(n)
BO(n²)
CO(α(n)), la inversa de la función de Ackermann, que en la práctica es constante
DExactamente O(log n)

5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K₆? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K₆

H =

6.Teoría de grafosDifícil

El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 2; las aristas descartadas no cuentan.

k = 2

1arista AB
2arista AC
3arista BC
4arista BD
5arista CE
6arista DE
7arista BE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Hay n niveles con trabajo constante cada uno, como en la suma recursiva de un array.

Respuesta

D · O(n)

2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Un vértice se da por cerrado al extraerlo, pero una arista negativa posterior aún podría darle un camino más corto

Por qué esta es la respuesta

El paso voraz se basa en pesos no negativos para que las distancias extraídas sean definitivas; cuando los pesos pueden ser negativos se usa Bellman-Ford.

Respuesta

B · Un vértice se da por cerrado al extraerlo, pero una arista negativa posterior aún podría darle un camino más corto

3.Estructuras de datos

Respuesta: B · 1

Por qué esta es la respuesta

Con direccionamiento abierto todas las claves se almacenan en la propia tabla, así que n no puede superar m; con encadenamiento separado el factor de carga puede ser mayor que 1.

Respuesta

B · 1

4.Estructuras de datos

Respuesta: C · O(α(n)), la inversa de la función de Ackermann, que en la práctica es constante

Por qué esta es la respuesta

Con ambas optimizaciones, las operaciones tardan O(α(n)) en tiempo amortizado; α(n) ≤ 4 para cualquier n realista.

Respuesta

C · O(α(n)), la inversa de la función de Ackermann, que en la práctica es constante

5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 60

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; K_n tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Respuesta

H = 60

6.Teoría de grafos

Respuesta: arista BC

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

1. BD (1)

2. BC (3)

3. DE (6)

4. AB (19)

arista número 2

Respuesta

arista BC

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