Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cómo construye el algoritmo de Prim un árbol de expansión mínima?

  1. AHace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol
  2. BElimina la arista más cara hasta que no quedan ciclos
  3. COrdena todas las aristas por peso y añade cada una salvo que forme un ciclo en el bosque
  4. DEjecuta una búsqueda en anchura y se queda con el árbol BFS
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El problema de la mochila 0/1 resuelto con programación dinámica requiere un tiempo O(nW). ¿Por qué se llama pseudopolinómico?

  1. APorque solo funciona para W = 0
  2. BPorque el algoritmo es aleatorizado y su tiempo de ejecución varía con cada entrada
  3. CW es un número, así que el tiempo es exponencial en el número de bits empleados para escribir W
  4. DPorque n siempre es pequeño
3.Estructuras de datosMedia

Una aplicación necesita búsquedas rápidas y además listar las claves en orden y responder consultas por rangos. ¿Qué estructura encaja mejor?

  1. AUna pila
  2. BUna tabla hash
  3. CUna lista enlazada sin ordenar
  4. DUn árbol binario de búsqueda balanceado
4.Estructuras de datosDifícil

Un árbol de segmentos (segment tree) se usa normalmente para:

  1. AOrdenar cadenas alfabéticamente almacenando cada prefijo en un nodo distinto del árbol
  2. BResponder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)
  3. CAlmacenar las aristas de un grafo
  4. DImplementar una pila
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K7? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K7
H =
6.Teoría de grafosDifícil
581114183172ABCDEFG

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice F. Haz clic en la arista que añade como arista número 6.

inicio: Fk = 6
  1. 1arista AC
  2. 2arista BC
  3. 3arista CE
  4. 4arista DE
  5. 5arista DF
  6. 6arista EF
  7. 7arista GC
  8. 8arista GD
  9. 9arista GE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Hace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Prim, con una cola de prioridad de las aristas que cruzan el corte, se ejecuta en O(E log V) con un montículo binario.

Respuesta

A · Hace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · W es un número, así que el tiempo es exponencial en el número de bits empleados para escribir W

Por qué esta es la respuesta

El tiempo de ejecución es polinómico en el valor de W pero exponencial en su longitud (log W bits); la mochila 0/1 es NP-completa.

Respuesta

C · W es un número, así que el tiempo es exponencial en el número de bits empleados para escribir W
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Un árbol binario de búsqueda balanceado

Por qué esta es la respuesta

Un BST balanceado ofrece búsquedas en O(log n) y mantiene las claves ordenadas, así que el recorrido en orden y las consultas por rangos son sencillos; una tabla hash dispersa las claves.

Respuesta

D · Un árbol binario de búsqueda balanceado
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Responder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Un árbol de segmentos almacena agregados de intervalos y permite consultas por rangos y actualizaciones puntuales en tiempo O(log n).

Respuesta

B · Responder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 360

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Respuesta

H = 360
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista BC

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. DF (4)
2. DE (1)
3. GE (2)
4. GC (3)
5. AC (5)
6. BC (8)

arista número 6

BC

Respuesta

arista BC

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