Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La cota inferior para la ordenación basada en comparaciones en el peor caso es:

  1. AΩ(n²)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(log n)
  4. DΩ(n log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Está 22n en O(2ⁿ)?

  1. ASí, porque los factores constantes del exponente se ignoran siempre en la notación O grande
  2. BNo, porque 22n crece más despacio que 2ⁿ
  3. CNo, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite
  4. DSí, porque ambos son exponenciales
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es la altura en el peor caso de un árbol binario de búsqueda con n nodos si las claves se insertan en orden?

  1. Alog₂ n
  2. B1
  3. C√n
  4. Dn (se convierte en una lista enlazada)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué par de recorridos determina siempre un único árbol binario con claves distintas?

  1. APreorden y en orden
  2. BPreorden y postorden
  3. CSolo el recorrido por niveles
  4. DSolo el preorden
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
1394107515ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Ω(n log n)

Por qué esta es la respuesta

Cualquier ordenación por comparaciones necesita al menos log₂(n!) ≈ n log n comparaciones en el peor caso. El ordenamiento por conteo (counting sort) la supera porque no compara.

Respuesta

D · Ω(n log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · No, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite

Por qué esta es la respuesta

Una constante sumada al exponente da un factor constante, pero una constante que multiplica al exponente cambia la base y el ritmo de crecimiento.

Respuesta

C · No, porque 22n = 4ⁿ y 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ crece sin límite
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · n (se convierte en una lista enlazada)

Por qué esta es la respuesta

Las inserciones ordenadas crean un árbol degenerado de altura n, por lo que las búsquedas son O(n). Los árboles balanceados lo evitan.

Respuesta

D · n (se convierte en una lista enlazada)
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Preorden y en orden

Por qué esta es la respuesta

El preorden da la raíz, y su posición en la secuencia en orden separa los subárboles izquierdo y derecho; preorden con postorden es ambiguo cuando un nodo tiene un solo hijo.

Respuesta

A · Preorden y en orden
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vértices impares

A, E → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 12

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 1, C: 3
B (1): E: 16
C (3): E: 7
E (7): D: 17, F: 12
F (12)
D (17)

Camino más corto

A → C → E → F
d(F) = 12

Respuesta

d(F) = 12

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