Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La complejidad temporal de Fibonacci recursivo ingenuo (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) es:

  1. AExponencial
  2. BLineal
  3. CLogarítmica
  4. DConstante
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué se deduciría si alguien hallara un algoritmo de tiempo polinómico para un problema NP-completo?

  1. ATodos los algoritmos de tiempo exponencial pasarían de inmediato a ejecutarse en tiempo lineal
  2. BTodo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP
  3. CEl problema de la parada se volvería decidible
  4. DSolo ese problema pasaría a P
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué condición de equilibrio mantiene un árbol AVL en cada nodo?

  1. AAmbos subárboles de cada nodo contienen exactamente el mismo número de nodos
  2. BCada nodo está coloreado de rojo o de negro
  3. CLas alturas de los subárboles izquierdo y derecho difieren como máximo en 1
  4. DTodas las hojas están exactamente a la misma profundidad
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cuál es la principal ventaja de una skip list sobre una lista enlazada ordenada?

  1. ANo usa memoria adicional
  2. BAlmacena las claves sin orden
  3. CBúsqueda garantizada en O(1), porque cada nodo guarda un puntero a todos los demás nodos
  4. DBúsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 3, 2 vértices de grado 5, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 32 × deg 5
L =
6.Teoría de grafosDifícil
15161315109ABCDE

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Exponencial

Por qué esta es la respuesta

El árbol de llamadas crece aproximadamente como φⁿ (unos 1,618ⁿ). La memoización lo reduce a O(n).

Respuesta

A · Exponencial
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Todo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP

Por qué esta es la respuesta

Como todo NP se reduce en tiempo polinómico a cualquier problema NP-completo, un algoritmo rápido para uno da un algoritmo rápido para todos.

Respuesta

B · Todo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Las alturas de los subárboles izquierdo y derecho difieren como máximo en 1

Por qué esta es la respuesta

El factor de equilibrio (altura izquierda − altura derecha) debe ser −1, 0 o 1; las rotaciones lo restablecen tras las inserciones y eliminaciones.

Respuesta

C · Las alturas de los subárboles izquierdo y derecho difieren como máximo en 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Búsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante

Por qué esta es la respuesta

Los niveles aleatorios permiten que las búsquedas salten muchos nodos, lo que da O(log n) esperado en búsqueda, inserción y eliminación.

Respuesta

D · Búsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 11

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 19 = 2(L + 5) − 2
L = 11

Respuesta

L = 11

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 30

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

BD (1): tomar
CE (5): tomar
BE (9): tomar
DE (10): descartar, cierra un ciclo
BC (13): descartar, cierra un ciclo
AB (15): tomar

Peso total

W = 1 + 5 + 9 + 15 = 30

Respuesta

W = 30

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