Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El algoritmo de programación dinámica de Held-Karp resuelve exactamente el problema del viajante. ¿Cuál es su tiempo de ejecución para n ciudades?

  1. AO(2n²)
  2. BO(n³)
  3. CO(n² 2ⁿ)
  4. DO(n!)
3.Estructuras de datosMedia

En un montículo binario almacenado en un arreglo que empieza en el índice 0, ¿dónde está el padre del nodo del índice i?

  1. AEn el índice i − 1
  2. BEn el índice ⌊(i − 1) / 2⌋
  3. CEn el índice 2i + 1
  4. DEn el índice ⌊i / 2⌋ + 1
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué garantía dan las reglas del árbol rojo-negro sobre la altura de un árbol con n claves?

  1. ALa altura es exactamente log2 n
  2. BLa altura es como máximo n / 2
  3. CLa altura es como máximo log2 n + 1
  4. DLa altura es como máximo 2 log2(n + 1)
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 11
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
37613201681292ABCDEFG

El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 4; las aristas descartadas no cuentan.

k = 4
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista CE
  5. 5arista DF
  6. 6arista EF
  7. 7arista GB
  8. 8arista GC
  9. 9arista GD
  10. 10arista GE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Por el teorema maestro, nlog₂ 2 = n domina al trabajo constante, así que T(n) = Θ(n), como al hallar un máximo dividiendo en mitades.

Respuesta

B · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(n² 2ⁿ)

Por qué esta es la respuesta

Hay unos n 2ⁿ estados, y cada uno se calcula en O(n); es exponencial, pero mucho más rápido que probar los (n − 1)! recorridos.

Respuesta

C · O(n² 2ⁿ)
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · En el índice ⌊(i − 1) / 2⌋

Por qué esta es la respuesta

Los hijos de i están en 2i + 1 y 2i + 2, así que el padre de i está en ⌊(i − 1) / 2⌋; con índices desde 1 es ⌊i / 2⌋.

Respuesta

B · En el índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · La altura es como máximo 2 log2(n + 1)

Por qué esta es la respuesta

Todos los caminos tienen el mismo número de nodos negros y los nodos rojos no pueden ser adyacentes, así que el camino más largo es como mucho el doble del más corto, lo que da una altura O(log n).

Respuesta

D · La altura es como máximo 2 log2(n + 1)
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vértices impares

A, C → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: arista GB

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

1. GE (2)
2. AB (3)
3. BC (6)
4. GB (8)
5. GD (9)
6. EF (16)

arista número 4

GB

Respuesta

arista GB

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