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1Fórmulas y métodos
Teoría de grafos
Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij
Método
Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).
2Problemas de práctica
1.Algoritmos y complejidadMedia
¿Cómo construye el algoritmo de Prim un árbol de expansión mínima?
AElimina la arista más cara hasta que no quedan ciclos
BHace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol
CEjecuta una búsqueda en anchura y se queda con el árbol BFS
DOrdena todas las aristas por peso y añade cada una salvo que forme un ciclo en el bosque
2.Algoritmos y complejidadDifícil
¿Qué algoritmo encuentra un árbol de expansión mínima añadiendo repetidamente la arista más barata que no forme un ciclo?
AAlgoritmo de Kruskal
BAlgoritmo de Prim empezando desde un nodo
CAlgoritmo de Dijkstra
DFloyd-Warshall
3.Estructuras de datosMedia
Las claves 50, 30, 70, 20, 40 se insertan en este orden en un árbol binario de búsqueda vacío. ¿Cuál es el hijo izquierdo de 30?
A40
B20
C50
D70
4.Estructuras de datosDifícil
Un árbol de Fenwick (binary indexed tree) sobre un arreglo de n números permite, ¿qué operaciones en O(log n)?
AInsertar elementos en cualquier posición
BEncontrar la mediana en O(1)
COrdenar el arreglo y la búsqueda binaria
DConsultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento
5.Teoría de grafosMedia
Un árbol tiene 2 vértices de grado 3, 2 vértices de grado 4, 2 vértices de grado 5, 3 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?
2 × deg 32 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
¿Cuántos recorridos de longitud 3 van de A a E? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.
M = matriz de adyacenciaL = 3
N =
3Disoluciones
1.Algoritmos y complejidad
Respuesta: B · Hace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol
Por qué esta es la respuesta
El algoritmo de Prim, con una cola de prioridad de las aristas que cruzan el corte, se ejecuta en O(E log V) con un montículo binario.
Respuesta
B · Hace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol
2.Algoritmos y complejidad
Respuesta: A · Algoritmo de Kruskal
Por qué esta es la respuesta
Kruskal ordena las aristas por peso y las añade si conectan componentes distintas; Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial.
Respuesta
A · Algoritmo de Kruskal
3.Estructuras de datos
Respuesta: B · 20
Por qué esta es la respuesta
20 es menor que 50 y menor que 30, así que pasa a ser el hijo izquierdo de 30; 40 pasa a ser su hijo derecho.
Respuesta
B · 20
4.Estructuras de datos
Respuesta: D · Consultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento
Por qué esta es la respuesta
Un árbol de Fenwick almacena sumas parciales sobre rangos determinados por los bits bajos de cada índice, así que tanto las sumas de prefijos como las actualizaciones puntuales cuestan O(log n).
Respuesta
D · Consultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento
5.Teoría de grafos
Respuesta: L = 14
Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.
Lema del apretón de manos para un árbol
L + 30 = 2(L + 9) − 2
L = 14
Respuesta
L = 14
Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.
6.Teoría de grafos
Respuesta: N = 1
Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.