Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árbol y bosque: |E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en K_n: (n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L: (Mᴸ)_ij

Método

Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Con monedas de 1, 3 y 4 y una cantidad de 6, ¿cuántas monedas usa el método voraz de «la moneda más grande primero», comparado con el óptimo?

AEl voraz usa 2 monedas; el óptimo es 2
BEl voraz usa 3 monedas; el óptimo es 3
CEl voraz usa 4 monedas; el óptimo es 3
DEl voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2

2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cómo detecta el algoritmo de Bellman-Ford un ciclo de peso negativo alcanzable desde el origen?

AComprueba si alguna arista tiene peso negativo
BTras V − 1 rondas, comprueba si alguna arista todavía puede relajarse
CCuenta los ciclos con una búsqueda en profundidad
DEjecuta dos veces el algoritmo de Dijkstra y compara los dos resultados de distancias

3.Estructuras de datosMedia

Un búfer circular (ring buffer) se usa habitualmente para implementar:

AUna función hash
BUn recorrido de grafo
CUn árbol binario de búsqueda
DUna cola de tamaño fijo

4.Estructuras de datosDifícil

Un nodo AVL está desequilibrado porque el subárbol derecho de su hijo izquierdo ha quedado demasiado alto (caso izquierda-derecha). ¿Qué corrección se aplica?

AUna rotación simple a la izquierda en el nodo
BUna rotación a la derecha en el hijo izquierdo y luego una rotación a la izquierda en el nodo
CUna rotación simple a la derecha en el nodo
DUna rotación a la izquierda en el hijo izquierdo y luego una rotación a la derecha en el nodo

5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K₆? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K₆

H =

6.Teoría de grafosDifícil

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F

d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · El voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2

Por qué esta es la respuesta

El voraz toma 4 + 1 + 1 = 3 monedas, pero 3 + 3 usa solo 2, así que el método voraz no es óptimo para este sistema de monedas; la programación dinámica sí lo es.

Respuesta

D · El voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2

2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Tras V − 1 rondas, comprueba si alguna arista todavía puede relajarse

Por qué esta es la respuesta

Todas las distancias mínimas reales se hallan en V − 1 rondas; si una arista todavía puede mejorarse, debe existir un ciclo negativo.

Respuesta

B · Tras V − 1 rondas, comprueba si alguna arista todavía puede relajarse

3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una cola de tamaño fijo

Por qué esta es la respuesta

Un búfer circular usa índices de cabeza y cola que dan la vuelta, lo que permite enqueue y dequeue en O(1) con memoria fija.

Respuesta

D · Una cola de tamaño fijo

4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una rotación a la izquierda en el hijo izquierdo y luego una rotación a la derecha en el nodo

Por qué esta es la respuesta

La primera rotación convierte el caso izquierda-derecha en un caso izquierda-izquierda, que luego corrige una rotación a la derecha en el nodo desequilibrado.

Respuesta

D · Una rotación a la izquierda en el hijo izquierdo y luego una rotación a la derecha en el nodo

5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 60

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; K_n tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Respuesta

H = 60

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 20

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 3, C: 15

B (3): D: 14, E: 16

D (14): F: 20

C (15)

E (16)

F (20)

Camino más corto

A → B → D → F

d(F) = 20

Respuesta

d(F) = 20

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