Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de: para i = 1 hasta n: (j = 1; mientras j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre seleccionar el k-ésimo elemento más pequeño de un array no ordenado es correcta?

  1. AQuickselect se ejecuta en O(n) esperado, y la mediana de medianas garantiza O(n) en el peor caso
  2. BQuickselect se ejecuta en O(log n) en el peor caso, porque solo hace recursión en un lado del pivote
  3. CLa selección siempre necesita Ω(n log n) porque requiere ordenar
  4. DLa selección solo es posible en O(n²)
3.Estructuras de datosMedia

Un nodo de un árbol binario de búsqueda tiene subárbol derecho. ¿Dónde está su sucesor en orden?

  1. ASiempre en su hijo derecho
  2. BSiempre en su padre
  3. CEn el nodo situado más a la derecha de su subárbol izquierdo
  4. DEn el nodo situado más a la izquierda de su subárbol derecho
4.Estructuras de datosDifícil

Eliminar un nodo con dos hijos de un árbol binario de búsqueda se hace normalmente:

  1. AReemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo
  2. BReconstruyendo desde cero el subárbol que hay debajo y reinsertando todas las claves que contenía
  3. CIntercambiándolo con la raíz
  4. DEliminando todo el subárbol
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K8? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K8
H =
6.Teoría de grafosDifícil
110161254141518ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(n log n)

Por qué esta es la respuesta

El bucle interior se ejecuta unas log₂ n veces por cada una de las n iteraciones exteriores, lo que da O(n log n).

Respuesta

A · O(n log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Quickselect se ejecuta en O(n) esperado, y la mediana de medianas garantiza O(n) en el peor caso

Por qué esta es la respuesta

El trabajo esperado de quickselect es n + n/2 + n/4 + ... = O(n) con pivotes aleatorios; elegir como pivote una mediana de medianas hace lineal el peor caso.

Respuesta

A · Quickselect se ejecuta en O(n) esperado, y la mediana de medianas garantiza O(n) en el peor caso
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · En el nodo situado más a la izquierda de su subárbol derecho

Por qué esta es la respuesta

Todas las claves mayores cercanas al nodo están en su subárbol derecho, y la menor de ellas es el nodo situado más a la izquierda de ese subárbol.

Respuesta

D · En el nodo situado más a la izquierda de su subárbol derecho
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Reemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo

Por qué esta es la respuesta

El sucesor en orden tiene como máximo un hijo, por lo que puede eliminarse fácilmente después de copiar su clave en el nodo que se va a eliminar.

Respuesta

A · Reemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 2520

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Respuesta

H = 2520
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 49

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

AB (1): tomar
EF (4): tomar
DF (5): tomar
AC (10): tomar
DE (12): descartar, cierra un ciclo
GB (14): tomar
GD (15): tomar

Peso total

W = 1 + 4 + 5 + 10 + 14 + 15 = 49

Respuesta

W = 49

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms