Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué algoritmo encuentra los caminos más cortos desde un origen en un grafo con pesos de aristas no negativos?

  1. ABellman-Ford es necesario en todos los casos
  2. BBúsqueda en profundidad (DFS)
  3. CAlgoritmo de Kruskal
  4. DAlgoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El problema de la mochila 0/1 resuelto con programación dinámica requiere un tiempo O(nW). ¿Por qué se llama pseudopolinómico?

  1. APorque n siempre es pequeño
  2. BW es un número, así que el tiempo es exponencial en el número de bits empleados para escribir W
  3. CPorque solo funciona para W = 0
  4. DPorque el algoritmo es aleatorizado y su tiempo de ejecución varía con cada entrada
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es el coste de insertar un elemento en medio de un arreglo de n elementos?

  1. AO(n²), porque cada elemento se mueve n veces
  2. BO(log n), por la búsqueda binaria
  3. CO(1), porque se conoce el índice
  4. DO(n), porque los elementos posteriores deben desplazarse
4.Estructuras de datosDifícil

Un objeto se almacena como clave en un mapa hash y después se modifica un campo que usa su función hash. ¿Cuál es el resultado probable?

  1. ANo cambia nada, porque el hash de una clave se calcula una sola vez al iniciar el programa
  2. BEl mapa mueve automáticamente la clave a su nueva cubeta
  3. CEl mapa lanza un error en el momento en que cambia el campo
  4. DLa búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 3, 3 vértices de grado 4, 2 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 33 × deg 42 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 3 empiezan y terminan en E? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 3
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Algoritmo de Dijkstra

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Dijkstra funciona con pesos no negativos; Bellman-Ford admite pesos negativos; Kruskal construye árboles de expansión mínima.

Respuesta

D · Algoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · W es un número, así que el tiempo es exponencial en el número de bits empleados para escribir W

Por qué esta es la respuesta

El tiempo de ejecución es polinómico en el valor de W pero exponencial en su longitud (log W bits); la mochila 0/1 es NP-completa.

Respuesta

B · W es un número, así que el tiempo es exponencial en el número de bits empleados para escribir W
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · O(n), porque los elementos posteriores deben desplazarse

Por qué esta es la respuesta

Todos los elementos situados después del punto de inserción se mueven una posición a la derecha, lo que lleva un tiempo proporcional a n.

Respuesta

D · O(n), porque los elementos posteriores deben desplazarse
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · La búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo

Por qué esta es la respuesta

La posición de la clave se eligió a partir de su hash antiguo; con un hash nuevo, las búsquedas miran en la cubeta equivocada, por lo que las claves deberían ser inmutables.

Respuesta

D · La búsqueda del objeto puede fallar porque está en la cubeta de su hash antiguo
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 10

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 22 = 2(L + 7) − 2
L = 10

Respuesta

L = 10

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Un paso más

(M³)EE = 2·0 + 1·1 + 0·1 + 1·1 + 4·0 + 0·1 = 2

Respuesta

N = 2

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