Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

En el problema de selección de actividades, ¿qué regla voraz da siempre el número máximo de actividades que no se solapan?

  1. AElegir primero la actividad con menos solapamientos y repetir con las compatibles
  2. BElegir la actividad que empieza antes
  3. CElegir primero la actividad más corta
  4. DElegir la actividad que termina antes y repetir con las compatibles
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cómo detecta el algoritmo de Bellman-Ford un ciclo de peso negativo alcanzable desde el origen?

  1. AEjecuta dos veces el algoritmo de Dijkstra y compara los dos resultados de distancias
  2. BTras V − 1 rondas, comprueba si alguna arista todavía puede relajarse
  3. CComprueba si alguna arista tiene peso negativo
  4. DCuenta los ciclos con una búsqueda en profundidad
3.Estructuras de datosMedia

¿Cómo se inserta un elemento nuevo en un montículo binario?

  1. ASe inserta en su posición ordenada desplazando una posición a la derecha todos los elementos mayores
  2. BSe reconstruye todo el montículo desde cero
  3. CSe coloca en la raíz y se hace bajar (sift-down)
  4. DSe coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo
4.Estructuras de datosDifícil

Para que una tabla hash funcione correctamente, ¿qué regla deben cumplir el hash y la igualdad?

  1. ALas claves distintas deben tener valores hash distintos
  2. BLos valores hash deben ser números primos
  3. CLas claves iguales deben tener valores hash iguales
  4. DValores hash iguales implican claves iguales
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 2 empiezan y terminan en C? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Elegir la actividad que termina antes y repetir con las compatibles

Por qué esta es la respuesta

Puede demostrarse con un argumento de intercambio que elegir la que termina antes es óptimo; las demás reglas tienen contraejemplos.

Respuesta

D · Elegir la actividad que termina antes y repetir con las compatibles
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Tras V − 1 rondas, comprueba si alguna arista todavía puede relajarse

Por qué esta es la respuesta

Todas las distancias mínimas reales se hallan en V − 1 rondas; si una arista todavía puede mejorarse, debe existir un ciclo negativo.

Respuesta

B · Tras V − 1 rondas, comprueba si alguna arista todavía puede relajarse
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Se coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo

Por qué esta es la respuesta

Añadirlo al final mantiene el árbol completo; intercambiarlo con su padre restablece el orden en O(log n) pasos.

Respuesta

D · Se coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Las claves iguales deben tener valores hash iguales

Por qué esta es la respuesta

Si dos claves iguales tuvieran hashes distintos, se almacenarían en cubetas distintas y las búsquedas fallarían; las claves distintas sí pueden compartir hash.

Respuesta

C · Las claves iguales deben tener valores hash iguales
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vértices impares

B, C → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 3

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Vecinos comunes

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

Respuesta

N = 3

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