Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de quicksort en el peor caso?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué definición de la clase NP es correcta?

  1. AProblemas que ningún algoritmo puede resolver
  2. BProblemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado
  3. CProblemas que no son polinómicos
  4. DProblemas que no pueden resolverse en tiempo polinómico
3.Estructuras de datosMedia

¿Cómo se inserta un elemento nuevo en un montículo binario?

  1. ASe reconstruye todo el montículo desde cero
  2. BSe inserta en su posición ordenada desplazando una posición a la derecha todos los elementos mayores
  3. CSe coloca en la raíz y se hace bajar (sift-down)
  4. DSe coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo
4.Estructuras de datosDifícil

La complejidad temporal de decrease-key en un montículo binario (conociendo la posición del elemento) es:

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos de longitud 2 van de D a C? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n²)

Por qué esta es la respuesta

Con pivotes malos de forma sistemática (p. ej., una entrada ya ordenada y el primer elemento como pivote) las particiones quedan desequilibradas, lo que da O(n²). El caso promedio es O(n log n).

Respuesta

B · O(n²)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Problemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado

Por qué esta es la respuesta

En un problema NP, una solución propuesta (certificado) puede comprobarse rápidamente, por ejemplo verificar que una asignación dada satisface una fórmula booleana.

Respuesta

B · Problemas de decisión cuyas respuestas afirmativas pueden verificarse en tiempo polinómico dado un certificado
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Se coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo

Por qué esta es la respuesta

Añadirlo al final mantiene el árbol completo; intercambiarlo con su padre restablece el orden en O(log n) pasos.

Respuesta

D · Se coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Tras disminuir la clave, el elemento sube (sift-up) como máximo la altura del montículo. Los montículos de Fibonacci logran decrease-key en O(1) amortizado.

Respuesta

C · O(log n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Vértices impares

A, B, C, E, F, G → 6
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Vecinos comunes

(M²)DC = 0·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·0 = 2

Respuesta

N = 2

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