Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Por qué muchas rutinas de ordenación de las bibliotecas cambian al ordenamiento por inserción para subarrays muy pequeños?

  1. AEl ordenamiento por inserción usa menos memoria que cualquier otro algoritmo de ordenamiento con entradas grandes
  2. BEl ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas
  3. CLos algoritmos recursivos no pueden tratar arrays de menos de 10 elementos
  4. DEl ordenamiento por inserción es O(n log n) en el peor caso
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es el coste amortizado de incrementar un contador binario, sabiendo que un incremento puede cambiar muchos bits?

  1. AO(log n) por incremento
  2. BO(1) por incremento
  3. CO(n log n) por incremento
  4. DO(n) por incremento
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué se cumple en la matriz de adyacencia de un grafo no dirigido?

  1. ASu diagonal principal siempre contiene unos
  2. BCada fila tiene exactamente un 1
  3. CEs simétrica respecto a la diagonal principal
  4. DSiempre es triangular superior
4.Estructuras de datosDifícil

Un árbol de segmentos (segment tree) se usa normalmente para:

  1. AAlmacenar las aristas de un grafo
  2. BImplementar una pila
  3. COrdenar cadenas alfabéticamente almacenando cada prefijo en un nodo distinto del árbol
  4. DResponder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
15791456108ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 5; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · El ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas

Por qué esta es la respuesta

Para n pequeño, el bucle sencillo del ordenamiento por inserción supera la sobrecarga de la recursión de quicksort o merge sort, aunque sea O(n²).

Respuesta

B · El ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(1) por incremento

Por qué esta es la respuesta

En n incrementos, el bit i cambia unas n / 2ⁱ veces, así que el total es menor que 2n cambios, una media de O(1) por incremento.

Respuesta

B · O(1) por incremento
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Es simétrica respecto a la diagonal principal

Por qué esta es la respuesta

En un grafo no dirigido, la arista {u, v} implica que tanto M[u][v] como M[v][u] están marcadas, así que la matriz es igual a su traspuesta.

Respuesta

C · Es simétrica respecto a la diagonal principal
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Responder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Un árbol de segmentos almacena agregados de intervalos y permite consultas por rangos y actualizaciones puntuales en tiempo O(log n).

Respuesta

D · Responder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 1

Vértices impares

D, E → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: D

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 15, C: 7
2. C (7)
3. B (15): D: 29, E: 23
4. E (23): D: 28, F: 33
5. D (28)
6. F (33)

ronda 5

D

Respuesta

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms