Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué afirmación sobre una función recursiva sin un caso base alcanzable es correcta?

  1. ASigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas
  2. BDevuelve 0 automáticamente
  3. CEl compilador siempre la convierte en un bucle que termina sin problemas
  4. DSe ejecuta en tiempo O(1)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué el algoritmo de Dijkstra puede dar resultados erróneos cuando algunos pesos de arista son negativos?

  1. ALos números negativos no pueden guardarse en una cola de prioridad
  2. BUn vértice se da por cerrado al extraerlo, pero una arista negativa posterior aún podría darle un camino más corto
  3. CEntra en un bucle infinito con cada arista negativa
  4. DSolo funciona con grafos no dirigidos
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es el coste de insertar un elemento en medio de un arreglo de n elementos?

  1. AO(n), porque los elementos posteriores deben desplazarse
  2. BO(n²), porque cada elemento se mueve n veces
  3. CO(log n), por la búsqueda binaria
  4. DO(1), porque se conoce el índice
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué estructura permite calcular el máximo de cada ventana de tamaño k de un arreglo en un tiempo total O(n)?

  1. AUn arreglo ordenado actualizado mediante desplazamientos
  2. BUna deque que guarda índices en orden decreciente de valor
  3. CUna lista simplemente enlazada con los elementos de la ventana
  4. DUn min-heap reconstruido para cada ventana
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 3, 4 vértices de grado 4, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 34 × deg 4
L =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos de longitud 2 van de E a A? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Sigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas

Por qué esta es la respuesta

Sin caso base, la recursión nunca termina; en la práctica se agota la memoria para los marcos de pila y el programa falla.

Respuesta

A · Sigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Un vértice se da por cerrado al extraerlo, pero una arista negativa posterior aún podría darle un camino más corto

Por qué esta es la respuesta

El paso voraz se basa en pesos no negativos para que las distancias extraídas sean definitivas; cuando los pesos pueden ser negativos se usa Bellman-Ford.

Respuesta

B · Un vértice se da por cerrado al extraerlo, pero una arista negativa posterior aún podría darle un camino más corto
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · O(n), porque los elementos posteriores deben desplazarse

Por qué esta es la respuesta

Todos los elementos situados después del punto de inserción se mueven una posición a la derecha, lo que lleva un tiempo proporcional a n.

Respuesta

A · O(n), porque los elementos posteriores deben desplazarse
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Una deque que guarda índices en orden decreciente de valor

Por qué esta es la respuesta

El frente de la deque es siempre el máximo de la ventana; cada índice entra en la deque y sale de ella una vez, así que el trabajo es lineal.

Respuesta

B · Una deque que guarda índices en orden decreciente de valor
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 12

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 22 = 2(L + 6) − 2
L = 12

Respuesta

L = 12

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 1

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 0 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)EA = 0·0 + 0·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·0 = 1

Respuesta

N = 1

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