Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de calcular el n-ésimo número de Fibonacci con una tabla ascendente (bottom-up)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la complejidad temporal de: para i = 1 hasta n: para (j = i; j ≤ n; j = j + i) hacer trabajo O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n √n)
3.Estructuras de datosMedia

Los árboles AVL y los árboles rojo-negro garantizan:

  1. AQue ningún nodo tenga dos hijos
  2. BUna altura O(log n) mediante el rebalanceo
  3. CQue las claves se almacenen en orden de inserción
  4. DBúsqueda en tiempo constante en todos los casos
4.Estructuras de datosDifícil

Un arreglo dinámico duplica su tamaño cuando está lleno. ¿Por qué muchas implementaciones solo lo reducen cuando está lleno en una cuarta parte, y no en la mitad?

  1. APara mantener el arreglo ordenado
  2. BPorque reducirlo a la mitad al llegar a la mitad perdería elementos
  3. CPorque el asignador de memoria solo puede liberar memoria en cuartos de bloque
  4. DPara evitar redimensionamientos repetidos cuando se alternan push y pop cerca del límite
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
105131513536ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 4; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Rellenar la tabla de 0 a n requiere una suma por entrada, así que el trabajo es lineal en lugar de exponencial.

Respuesta

B · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(n log n)

Por qué esta es la respuesta

El total es n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, y el número armónico Hn es Θ(log n).

Respuesta

C · O(n log n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Una altura O(log n) mediante el rebalanceo

Por qué esta es la respuesta

Los árboles autobalanceados mantienen una altura logarítmica, así que la búsqueda, la inserción y la eliminación son O(log n) en el peor caso.

Respuesta

B · Una altura O(log n) mediante el rebalanceo
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Para evitar redimensionamientos repetidos cuando se alternan push y pop cerca del límite

Por qué esta es la respuesta

Reducirlo al llegar a la mitad podría provocar un redimensionamiento en cada operación de esa secuencia; el margen entre 1/4 y lleno mantiene el coste amortizado en O(1).

Respuesta

D · Para evitar redimensionamientos repetidos cuando se alternan push y pop cerca del límite
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: E

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 10, C: 5
2. C (5): E: 18
3. B (10): D: 25, E: 16
4. E (16): F: 19
5. F (19): D: 24
6. D (24)

ronda 4

E

Respuesta

E

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