Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La complejidad temporal de Fibonacci recursivo ingenuo (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) es:

  1. ALogarítmica
  2. BConstante
  3. CLineal
  4. DExponencial
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El ordenamiento por inserción se ejecuta en O(n) con una entrada ordenada. ¿Contradice esto la cota inferior Ω(n log n) de la ordenación por comparaciones?

  1. ANo, porque el ordenamiento por inserción no es una ordenación por comparaciones
  2. BSí, pero solo para arrays de menos de 100 elementos
  3. CNo, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada
  4. DSí, así que la cota inferior es errónea
3.Estructuras de datosMedia

¿Para qué sirve un nodo centinela (ficticio) en una lista enlazada?

  1. APara mantener la lista ordenada
  2. BPara impedir que la lista crezca más allá de un número máximo fijo de nodos
  3. CPara simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
  4. DPara almacenar el número de elementos
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cuál es el tiempo de ejecución de la búsqueda en anchura en un grafo con V vértices almacenado como matriz de adyacencia?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V²)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V)
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 20 vértices y 28 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 20|E| = 28
k =
6.Teoría de grafosDifícil
71110129231112138ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Exponencial

Por qué esta es la respuesta

El árbol de llamadas crece aproximadamente como φⁿ (unos 1,618ⁿ). La memoización lo reduce a O(n).

Respuesta

D · Exponencial
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · No, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada

Por qué esta es la respuesta

La cota dice que toda ordenación por comparaciones necesita unas n log n comparaciones con alguna entrada de tamaño n; entradas especiales pueden ser mucho más rápidas.

Respuesta

C · No, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola

Por qué esta es la respuesta

Con un centinela, todo nodo real tiene un predecesor, así que insertar o eliminar en la cabeza no requiere ningún tratamiento especial.

Respuesta

C · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(V²)

Por qué esta es la respuesta

Cada uno de los V vértices recorre una fila de V entradas, lo que da O(V²); con listas de adyacencia, BFS es O(V + E).

Respuesta

B · O(V²)
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 9

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

20 − 1 = 19

Aristas que quitar

k = 28 − 19 = 9

Respuesta

k = 9
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 26

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 7, C: 11
B (7): G: 18
C (11): E: 23
G (18): D: 31
E (23): F: 26
F (26): D: 28
D (28)

Camino más corto

A → C → E → F
d(F) = 26

Respuesta

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms