Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El problema de la mochila 0/1 resuelto con programación dinámica requiere un tiempo O(nW). ¿Por qué se llama pseudopolinómico?

  1. APorque n siempre es pequeño
  2. BPorque solo funciona para W = 0
  3. CW es un número, así que el tiempo es exponencial en el número de bits empleados para escribir W
  4. DPorque el algoritmo es aleatorizado y su tiempo de ejecución varía con cada entrada
3.Estructuras de datosMedia

Una red de carreteras tiene 100,000 cruces, cada uno conectado con unos 4 más. ¿Qué representación es la más adecuada?

  1. AUn montículo binario de aristas
  2. BUn único arreglo ordenado de vértices
  3. CMatriz de adyacencia
  4. DLista de adyacencia
4.Estructuras de datosDifícil

En una tabla hash con direccionamiento abierto, ¿por qué la eliminación suele hacerse con un marcador «lápida» (tombstone)?

  1. AVaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves
  2. BLas claves eliminadas deben conservarse para siempre por seguridad, así que las posiciones nunca pueden reutilizarse
  3. CHace que la tabla quede ordenada
  4. DLas lápidas aceleran el hashing
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
712183101442ABCDEF

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

El problema se reduce a la mitad en cada paso con trabajo constante por paso, así que hay unos log₂ n pasos.

Respuesta

C · O(log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · W es un número, así que el tiempo es exponencial en el número de bits empleados para escribir W

Por qué esta es la respuesta

El tiempo de ejecución es polinómico en el valor de W pero exponencial en su longitud (log W bits); la mochila 0/1 es NP-completa.

Respuesta

C · W es un número, así que el tiempo es exponencial en el número de bits empleados para escribir W
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Lista de adyacencia

Por qué esta es la respuesta

Una matriz necesitaría 1010 celdas, casi todas vacías; una lista de adyacencia solo almacena unas 400,000 entradas de aristas.

Respuesta

D · Lista de adyacencia
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Vaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves

Por qué esta es la respuesta

Si una posición eliminada quedara vacía, las búsquedas posteriores podrían detenerse antes de tiempo y no encontrar claves colocadas más adelante en la cadena de sondeo.

Respuesta

A · Vaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vértices impares

A, C, D, E → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 28

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

BE (2): tomar
BD (3): tomar
EF (4): tomar
AB (7): tomar
DE (10): descartar, cierra un ciclo
AC (12): tomar

Peso total

W = 2 + 3 + 4 + 7 + 12 = 28

Respuesta

W = 28

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