Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Es correcto decir que un algoritmo O(n²) también es O(n³)?

  1. ASí, porque O grande es una cota superior y n² no crece más deprisa que n³
  2. BNo, porque O grande debe dar siempre el ritmo de crecimiento exacto de la función
  3. CNo, porque n³ es menor que n² para n grande
  4. DSí, pero solo si n es menor que 100
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Para demostrar que un problema nuevo X es NP-difícil, ¿qué hay que hacer?

  1. ADemostrar que X no tiene algoritmo polinómico para entradas pequeñas
  2. BReducir en tiempo polinómico X a un problema NP-difícil conocido
  3. CReducir en tiempo polinómico un problema NP-difícil conocido a X
  4. DDemostrar que X puede verificarse en tiempo polinómico
3.Estructuras de datosMedia

Una red de carreteras tiene 100,000 cruces, cada uno conectado con unos 4 más. ¿Qué representación es la más adecuada?

  1. AMatriz de adyacencia
  2. BUn montículo binario de aristas
  3. CUn único arreglo ordenado de vértices
  4. DLista de adyacencia
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué garantía dan las reglas del árbol rojo-negro sobre la altura de un árbol con n claves?

  1. ALa altura es como máximo log2 n + 1
  2. BLa altura es como máximo 2 log2(n + 1)
  3. CLa altura es como máximo n / 2
  4. DLa altura es exactamente log2 n
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 3, 2 vértices de grado 4, 2 vértices de grado 5, 4 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 32 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
1510162213515ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(C) del camino más corto de A a C en el grafo ponderado.

inicio: Afin: C
d(C) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Sí, porque O grande es una cota superior y n² no crece más deprisa que n³

Por qué esta es la respuesta

O grande es una cota superior, así que la afirmación es cierta pero no ajustada; Θ(n²) indica el ritmo de crecimiento exacto.

Respuesta

A · Sí, porque O grande es una cota superior y n² no crece más deprisa que n³
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Reducir en tiempo polinómico un problema NP-difícil conocido a X

Por qué esta es la respuesta

Si un problema difícil conocido puede transformarse eficientemente en X, un algoritmo rápido para X resolvería también el problema conocido.

Respuesta

C · Reducir en tiempo polinómico un problema NP-difícil conocido a X
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Lista de adyacencia

Por qué esta es la respuesta

Una matriz necesitaría 1010 celdas, casi todas vacías; una lista de adyacencia solo almacena unas 400,000 entradas de aristas.

Respuesta

D · Lista de adyacencia
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · La altura es como máximo 2 log2(n + 1)

Por qué esta es la respuesta

Todos los caminos tienen el mismo número de nodos negros y los nodos rojos no pueden ser adyacentes, así que el camino más largo es como mucho el doble del más corto, lo que da una altura O(log n).

Respuesta

B · La altura es como máximo 2 log2(n + 1)
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 15

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 35 = 2(L + 11) − 2
L = 15

Respuesta

L = 15

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(C) = 24

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 15
B (15): C: 25, D: 16, G: 20
D (16): E: 18, F: 18, G: 17
G (17)
E (18): C: 24
F (18)
C (24)

Camino más corto

A → B → D → E → C
d(C) = 24

Respuesta

d(C) = 24

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