Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre P y NP es correcta?

  1. ALas soluciones de los problemas NP no se pueden verificar rápidamente
  2. BNP significa «no polinómico»
  3. CTodo problema de P también está en NP
  4. DSe ha demostrado que P ≠ NP
3.Estructuras de datosMedia

Tienes una referencia a un nodo situado en medio de una lista. ¿En qué lista puedes eliminarlo en O(1)?

  1. AUn arreglo dinámico
  2. BUna lista simplemente enlazada
  3. CUna lista doblemente enlazada
  4. DUn arreglo ordenado
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué las bases de datos suelen usar árboles B+ en lugar de árboles B simples para los índices?

  1. ALos árboles B+ usan nodos internos binarios, lo que reduce el número de lecturas de disco
  2. BTodos los registros están en hojas enlazadas, lo que hace eficientes los recorridos por rangos
  3. CLos árboles B+ no necesitan estar balanceados
  4. DLos árboles B+ almacenan los datos solo en la raíz
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K6? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K6
H =
6.Teoría de grafosDifícil
91813115171416ABCDEF

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice B. Haz clic en la arista que añade como arista número 2.

inicio: Bk = 2
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista EF
  8. 8arista BE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(2ⁿ)

Por qué esta es la respuesta

El número de llamadas se duplica en cada nivel y hay n niveles, así que el total es de unos 2ⁿ, como en las torres de Hanói.

Respuesta

C · O(2ⁿ)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Todo problema de P también está en NP

Por qué esta es la respuesta

P ⊆ NP: si puedes resolver un problema rápidamente, puedes verificar una solución rápidamente. Si P = NP sigue siendo una cuestión abierta.

Respuesta

C · Todo problema de P también está en NP
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Una lista doblemente enlazada

Por qué esta es la respuesta

Un nodo doblemente enlazado conoce a su predecesor, así que se pueden reenlazar directamente el anterior y el siguiente; en una lista simplemente enlazada hay que buscar el predecesor.

Respuesta

C · Una lista doblemente enlazada
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Todos los registros están en hojas enlazadas, lo que hace eficientes los recorridos por rangos

Por qué esta es la respuesta

En un árbol B+ los nodos internos solo guían la búsqueda y las hojas están enlazadas en orden de clave, así que una consulta por rango encuentra la primera clave y luego avanza por las hojas.

Respuesta

B · Todos los registros están en hojas enlazadas, lo que hace eficientes los recorridos por rangos
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 60

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Respuesta

H = 60
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista BD

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. AB (9)
2. BD (11)
3. BC (13)
4. CE (5)
5. EF (14)

arista número 2

BD

Respuesta

arista BD

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