Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal del algoritmo estándar de programación dinámica para la subsecuencia común más larga de dos cadenas de longitudes m y n?

  1. AO(mn log n)
  2. BO(mn)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(m + n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El problema de la parada demuestra que:

  1. AHay que evitar los bucles
  2. BAlgunos programas se ejecutan más rápido en ordenadores más rápidos, así que la parada depende del hardware
  3. CNingún algoritmo puede decidir, para todo programa y toda entrada, si el programa se detiene
  4. DTodo programa acaba deteniéndose
3.Estructuras de datosMedia

¿Para qué sirve un nodo centinela (ficticio) en una lista enlazada?

  1. APara almacenar el número de elementos
  2. BPara mantener la lista ordenada
  3. CPara impedir que la lista crezca más allá de un número máximo fijo de nodos
  4. DPara simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cuál es la principal ventaja de una skip list sobre una lista enlazada ordenada?

  1. ANo usa memoria adicional
  2. BAlmacena las claves sin orden
  3. CBúsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante
  4. DBúsqueda garantizada en O(1), porque cada nodo guarda un puntero a todos los demás nodos
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
13761237110157411ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(D) del camino más corto de A a D en el grafo ponderado.

inicio: Afin: D
d(D) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(mn)

Por qué esta es la respuesta

La tabla tiene (m + 1)(n + 1) celdas y cada una se calcula en O(1) a partir de sus vecinas.

Respuesta

B · O(mn)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Ningún algoritmo puede decidir, para todo programa y toda entrada, si el programa se detiene

Por qué esta es la respuesta

Turing demostró que el problema de la parada es indecidible: suponer que existe un decisor lleva a una contradicción con un programa que hace lo contrario.

Respuesta

C · Ningún algoritmo puede decidir, para todo programa y toda entrada, si el programa se detiene
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola

Por qué esta es la respuesta

Con un centinela, todo nodo real tiene un predecesor, así que insertar o eliminar en la cabeza no requiere ningún tratamiento especial.

Respuesta

D · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Búsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante

Por qué esta es la respuesta

Los niveles aleatorios permiten que las búsquedas salten muchos nodos, lo que da O(log n) esperado en búsqueda, inserción y eliminación.

Respuesta

C · Búsqueda esperada en O(log n) gracias a varios niveles de punteros hacia delante
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(D) = 17

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 13, C: 7
C (7): E: 10, G: 14
E (10): D: 17, F: 20
B (13)
G (14)
D (17): F: 18
F (18)

Camino más corto

A → C → E → D
d(D) = 17

Respuesta

d(D) = 17

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